附录：习题解答

第 1 章：该推断不是演绎有效的。完全有可能前提为真，而乔塞是西班牙少数不是天主教徒的人。但是，前提一起对结论给出了很好的（尽管不是决定性的）支持理由。因此，该推断是归纳有效的。

第 2 章：令

$k$ 为“琼斯是个流氓”

$f$ 为“琼斯是个傻瓜”

则推断符号化为：

$$\dfrac{k\lor f\quad k}{\neg f}$$

真值表检测结果为：

$k$	$f$	$k\lor f$	$k$	$\neg f$
$T$	$T$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$T$

第一行，两个前提都为 $T$，而结论为 $F$。因此，该推断是无效的。

第 3 章：令

$xS$ 为“$x$ 看见枪击”

$xH$ 为“$x$ 听见枪击”

令考虑中的对象为所有人。推断符号化为：

$$\dfrac{\exists x(xS\lor xH)}{\exists x\ xS\lor \exists x\ xH}$$

该推断是有效的。因为假设前提在某个情形为真，那就有某个对象 $x$ 在该情形的论域中使得 $xS\lor xH$ 为真。据 $\lor$ 的真值条件，$xS$ 为真或 $xH$ 为真。在第 1 种情况下，有 $\exists x\ xS$；在第 2 种情况下，有 $\exists x\ xH$。因此无论哪种情况，$\exists x\ xS\lor xH$ 在该情形都为真。

第 4 章：令

$xP$ 为“$x$ 想获奖”

$xR$ 为“$x$ 赢了比赛”

令考虑中的对象为所有人。推断符号化为：

$$\dfrac{\forall x\ xP}{(\iota x\ xR)P}$$

该推断是无效的。考虑某个情形 $s$，其中所有人都满足 $P$，但没有人满足 $R$。（也许比赛取消了！）那么前提在 $s$ 为真。但摹状词 $\iota x\ xR$ 不指称任何东西。因此，结论在 $s$ 为假。

第 5 章：令

$m$ 为“你做了个煎蛋”

$b$ 为“你打破了一个鸡蛋”

则推理符号化为：

$$\dfrac{m\quad\neg(m\land\neg b)}{b}$$

该推断是无效的。 考虑如下情形：

$b$：$F$ 但不为 $T$

$m$：$T$ 且 $F$

则 $\neg b$ 为 $T$（且不为 $F$）；因此 $m\land \neg b$ 为 $T$ 和 $F$（两个合取项均为真，且其中一个为假）；因此 $\neg(m\land \neg b)$ 为 $T$ 和 $F$。在该情形下，两个前提均为 $T$，而结论不为 $T$。

第 6 章：令

$f$ 为“猪会飞”。

$b$ 为“猪能在水下呼吸”。

则推断符号化为

$$\dfrac{\neg\Diamond f\land\neg\Diamond b}{\Box(\neg f\land\neg b)}$$

该推断是有效的。因为假设前提在某个情形 $s$ 为真，则两个合取项在该情形都为真。因此，没有关联情形 $s'$ 使得 $f$ 为真（第 1 个合取项）或 $b$ 为真（第 2 个合取项）。即，在每个关联情形 $s'$，$\neg f\land\neg b$ 均为真。因此，结论在 $s$ 为真。

第 7 章：令

$b$ 为“你信仰上帝”

$c$ 为“你去教堂”

则推断符号化为：

$$\dfrac{b\to c\quad c}{b}$$

该推断是无效的。 考虑某个情形 $s$，它有一个关联情形 $s'$，相关信息图示如下：

在每个 $b$ 为真的情形，$c$ 都为真。因此，$b\to c$ 在 $s$ 为真。这样，两个前提在 $s$ 均为真，但结论在 $s$ 不为真。

第 8 章：令

$r$ 为“现在在下雨”

则推断符号化为：

$$\dfrac{\mathbf{H}r\land\mathbf{G}r}{r}$$

该推断是无效的。考虑如下图示的情形组合：

$\ldots$	$s_{-3}$	$s_{-2}$	$s_{-1}$	$s_0$	$s_1$	$s_2$	$s_3$	$\ldots$
	$r$	$r$	$r$	$\neg r$	$r$	$r$	$r$

$r$ 在 $s_0$ 之前的所有时刻均为真，故 $\mathbf{H}r$ 在 $s_0$ 为真。$r$ 在 $s_0$ 之后的所有时刻均为真，故 $\mathbf{G}s$ 在 $s_0$ 为真。因此，$\mathbf{H}r\land\mathbf{G}s$ 在 $s_0$ 为真。但结论在 $s_0$ 不为真。

第 9 章：令

$p$ 为“帕特”

$c$ 为“那个擦窗户的人”

$w$ 为“是个女人”

则推断符号化为：

$$\dfrac{pW\land\neg cW}{\neg p=c}$$

该推断是有效的。考虑任何前提为真的情形，则在该情形下，$p$ 指称的任何对象都具有 $W$ 表达的性质，而 $c$ 指称的任何对象都不具有该性质。因此，据莱布尼茨律，$p$ 和 $c$ 指称不同的对象（假定没有什么可以既真又假！）。即，$\neg p=c$ 为真。

第 10 章：令

$c$ 为“珍妮聪明”

$b$ 为“珍妮漂亮”

则推断形式化为：

$$\dfrac{c\quad \neg c\lor b}{b}$$

该推断是无效的。 考虑某个 $c$ 和 $b$ 具有如下真值的情形：

$c$：0.5

$b$：0.2

则 $\neg c$ 的真值为 $0.5$（$1-0.5$），因而 $\neg c\lor b$ 的真值也为 $0.5$（$\max(0.5,0.2)$）。这样两个前提都是可接受的（$\geq 0.5$），但结论不是可接受的。

第 11 章：令

$t$ 为“$r$ 高”

$w$ 为“$r$ 富有”

$h$ 为“$r$ 快乐”

推断是有效的。因为有 3 个高且富有的人，其中 2 个是快乐的，故 $pr(h|t\land w)=2/3$；其中 1 个是不快乐的，故 $pr(\neg h|t\land w)=1/3$。因此，$pr(h|t\land w) > pr(\neg h|t\land w)$。

第 12 章：第 1 问：考虑一个 100 人的具有该症状的典型样本，则 90 人得 $A$ 病，10 人得 $B$ 病。由于检查的正确率是 9/10，检查结果会告诉我们 90 个得 $A$ 病的人中有 81 个得 $A$ 病、9 人得 $B$ 病；10 个得 $B$ 病的人中有 $9$ 人得 $B$ 病、1 人得 $A$ 病。因此，总共有 18 人检查结果为 $B$ 病，因此一个随机抽中的人检查结果为 $B$ 病的概率为 18/100。

第 2 问：令 $r$ 为随机抽中的具有该症状的人，且令

$b$ 为“$r$ 得 $B$ 病” $t$ 为“$r$ 的检查结果为 $B$ 病”

则：

• $pr(t|b)=9/10$，因为检查的正确率为 90%；
• $pr(b)=1/10$，因为 10 人中有 1 人得 $B$ 病；
• $pr(t)=18/100$，据第 1 问。

据互逆概率之间的关系可得，

$$pr(b|t)=pr(t|b)\times pr(b)/pr(t)=\frac{9}{10}\times \frac{1}{10}\div\frac{18}{100}=1/2$$

第 13 章：将相关信息用表格表示如下：

	出事故	不出事故
买保险	$0.05\backslash -390$	$0.95\backslash -90$
不买保险	$0.05\backslash -1500$	$0.95\backslash 0$

计算期望值可得：

$$\begin{aligned} E(t) &= 0.05\times(-390)+0.95\times(-90)=-105 \\ E(\neg t) & = 0.05\times(-1500)+0.95\times 0=-75 \end{aligned}$$

由于 $E(\neg t) > E(t)$，因此你应该不买保险。

第 14 章：我们当然可以对给定的输入运行程序。如果它确实终止，则或早或晚它会终止，那时我们就知道它终止（尽管我们可能无法提前知道要多久它才会终止）。但是，如果它不终止，我们将永远无法知道这一点。无论计算持续了多长时间，如果它没停，这可能是因为它永远不会终止，但也可能只是它还没到终止的时候。我们没办法知道究竟处于哪种情形。

第 15 章：没有。如果 $n$ 是语句 $\neg\exists xProv(x,n)$ 的编码，则由于逻辑具有排中律，该理论能证明 $\exists xProve(x,n)\lor\neg\exists xProv(x,n)$。但哥德尔定理表明 $\neg\exists xProv(x,n)$ 无法被证明，尽管它是真的。