第5章：自指：本章是关于什么的？

常常，当人们思考寻常情形时，事情似乎很简单。但这可能是有迷惑性的。当人们考虑更不寻常的情形时，这种简单性就会完全消失。指称问题就是如此。上一章我们看到，一旦人们考虑到有些名称可以不指称任何事物这一事实，事情就不像人们原本想的那么简单了。当我们考虑另一种不寻常的情形——自指时，进一步的复杂性就出现了。

一个名称完全有可能指称包含它自身的对象。比如，考虑“本语句有七个字”这句话，作为主语的名称“本语句”指称整个语句，而该名称是整个语句的一部分。类似的情况也发生在一组规章里，其中有这样的条款：“这些规章可以经哲学系多数人的决定予以修订”，或者当一个人在思考下面这句话时：“如果我在思考本思考，我就必定是有意识的”。

这些都是相对没有问题的自指。还有些情况就大不相同了。比如，假设某人说：

我正在说的这句话是假的。

称这句话为 $\lambda$。$\lambda$ 是真是假呢？如果它为真，那么它所说的就是实际情况，因此 $\lambda$ 为假。但如果它为假，由于这恰好就是它所声称的，它就为真。不管哪种情况，$\lambda$ 似乎既真又假。该语句就像一条莫比乌斯带，这种拓扑结构由于一个扭转，使得带子的内部就是外部，外部就是内部，而在这里，真就是假，假就是真。

或者假设某人说：

我正在说的这句话是真的。

它是真是假呢？如果它为真，它就为真，因为这就是它所说的。如果它为假，它就为假，因为它说自己为真。因此，假定它为真和假定它为假似乎都是一致的。此外，似乎没有其他事实可以解决其真值问题。并不是它有某个我们不知道，甚或无法知道的值，而是似乎完全没有什么东西能确定其为真或为假。它似乎既不真又不假。

这两个悖论非常古老。其中第一个似乎是由古希腊哲学家欧布里德首先发现的，常被称作说谎者悖论（liar paradox）。近来有越来越多同类型的悖论出现，其中一些在数学推理的核心部分起着至关重要的作用。这里是另一个例子。一个集合就是一组对象的聚集。比如，我们有所有人构成的集合，所有数构成的集合，所有抽象观念构成的集合。集合也可以是其他集合的成员。比如，由一间房子里的所有人构成的集合，是一个集合，所以它也是由所有集合构成的集合的一个成员。有些集合甚至可以是自身的成员：本页提到的所有对象构成的集合，就是本页提到的一个对象（我刚刚提到），因此是它自身的成员。由所有集合构成的集合，是一个集合，因此它也是他自身的成员。还有些集合无疑不是它们自身的成员：所有人构成的集合并不是人，因此它不是所有人构成的集合的成员。

现在，考虑由所有不是自身成员的集合构成的集合。称这个集合为 $R$。$R$ 是不是自身的成员呢？如果它是自身的成员，那它就是那些不是自身成员的对象中的一个，因此它就不是自身的成员。另一方面，如果它不是自身的成员，那它就是那些不是自身成员的集合中的一个，因此它就是自身的成员。$R$ 似乎既是又不是自身的成员。

这个悖论是由伯特兰·罗素发现的——上一章我们已经提到他，因而该悖论被称作罗素悖论（Russell's paradox）。同说谎者悖论一样，它也有一个表亲。考虑所有是自身成员的集合构成的集合会怎么样呢？它是否是自身的成员呢？如果它是，它就是；如果它不是，它就不是。同样，似乎没有任何东西能确定它是还是不是。

这类例子所做的，是在挑战我们在第2章所做的假设，即每个语句或者为真，或者为假，但不会既真又假。“本语句为假”和“$R$ 不是自身成员”似乎既真又假，而它们的表亲似乎既不真又不假。

怎么才能容纳这一观念呢？将这些其他的可能性考虑进来即可。假设在任何情形下，每个语句只真不假，只假不真，既真又假，或者既不真又不假。回想一下第 2 章关于否定、合取和析取的真值条件。在任何情形下：

• $eg a$ 具有真值 $T$，当且仅当 $a$ 具有真值 $F$。

• $eg a$ 具有真值 $F$，当且仅当 $a$ 具有真值 $T$。

• $a\land b$ 具有真值 $T$，当且仅当 $a$ 和 $b$ 都具有真值 $T$。

• $a\land b$ 具有真值 $F$，当且仅当 $a$ 和 $b$ 中至少有一个具有真值 $F$。

• $a\lor b$ 具有真值 $T$，当且仅当 $a$ 和 $b$ 中至少有一个具有真值 $T$。

• $a\lor b$ 具有真值 $F$，当且仅当 $a$ 和 $b$ 都具有真值 $F$。

利用这些信息，不难算出新系统下语句的真值。例如：

• 假设 $a$ 只为 $F$ 不为 $T$。那么，由于 $a$ 为 $F$，$eg a$ 就为 $T$（据否定的第一个条件）。又由于 $a$ 不为 $T$，$eg a$ 不为 $F$（据否定的第二个条件）。因此，$eg a$ 只为 $T$ 不为 $F$。

• 假设 $a$ 为 $T$ 和 $F$，$b$ 只为 $T$。那么，$a$ 和 $b$ 都为 $T$，所以 $a\land b$ 为 $T$（据合取的第一个条件）。但，因为 $a$ 为 $F$，故 $a$ 和 $b$ 中至少一个为 $F$，所以 $a\land b$ 为 $F$（据合取的第二个条件）。因此，$a\land b$ 既为 $T$ 也为 $F$。

• 假设 $a$ 只为 $T$，$b$ 既不为 $T$ 也不为 $F$。那么，由于 $a$ 为 $T$，故 $a$ 和 $b$ 中至少有一个为 $T$，因此 $a\lor b$ 为 $T$（据析取的第一个条件）。但由于 $a$ 不为 $F$，故并非 $a$ 和 $b$ 都为 $F$，所以 $a\lor b$ 不为 $F$（据析取的第二个条件）。因此，$a\lor b$ 只为 $T$。

关于有效性，这告诉我们什么呢？一个有效的论证仍然是没有情形使得其前提为真而结论不为真的论证。一个情形仍然是对每个相关语句给出真值的东西。只是现在，这个情形可以对一个语句给出一个真值，两个真值或没有真值。那么，考虑推断 $q/q\lor p$。在任何 $q$ 具有真值 $T$ 的情形中，$\lor$ 的真值条件向我们保证了 $q\lor p$ 也具有真值 $T$。（它也可能还有真值 $F$，但没关系。）这样，如果前提具有真值 $T$，结论也具有真值 $T$。该推断是有效的。

此刻，有必要回到我们第 2 章开头那个推断：$q,\neg q/p$。我们在那一章已看到，在那里给出的假设下，该推断是有效的。但在新的假设下，情况就不同了。要知道为什么，只需考虑一个 $q$ 具有真值 $T$ 和 $F$，而 $p$ 只具有真值 $F$ 的情形。由于 $q$ 既为 $T$ 又为 $F$，$eg q$ 也既为 $T$ 又为 $F$。因此，两个前提都为 $T$（也都为 $F$，但那不相干），而结论 $p$ 不为 $T$。这给了我们另一个诊断，解释了为什么我们发现这个推断直觉上是无效的。它确实是无效的。

不过，这还不是本章的结束。我们在第 2 章看到，这个推断可以由其他两个推断推出。第一个（$q/q\lor p$） 我们已经看到，在目前的解释下是有效的。所以另一个一定是无效的，它确实如此。另一个推断是：

$$\dfrac{q\lor p,\neg q}{p}$$

现在考虑一个 $q$ 具有真值 $T$ 和 $F$ 而 $p$ 只具有真值 $F$ 的情形。很容易验证两个前提都有真值 $T$（也有 $F$），但结论没有真值 $T$。因此，该推断是无效的。

在第 2 章我说过，这个推断在直觉上确乎是有效的。因此，在新的解释下，我们关于它的直觉一定是错的。然而，我们可以对这一事实提供一种解释。该推断看上去有效是因为，若 $eg q$ 为真，则它似乎排除了 $q$ 为真，从而留下 $p$ 给我们。但根据现在的解释，$eg q$ 的真并不排除 $q$ 的真。只有在某个东西不能既真又假时，才是如此。当我们认为该推断有效时，我们或许忘记了这种可能性，而它会在自指这种不寻常的情形下出现。

哪种解释更好呢？是我们在第 2 章结束时给出的解释，还是我们现在给出的？这个问题我留给读者自己思考。作为替代，我们以提出如下问题结束本章：像往常一样，人们可以挑战这个新解释所依赖的某些观念。考虑说谎者悖论及其表亲。先考虑后者。“本语句为真”这个句子被认为是既不真又不假的例子。让我们假设它就是如此。

那么，特别的，它不是真的。但它本身说的是，它是真的。所以，它一定是假的，与我们开始假设它既不真又不假相反。我们似乎最终陷入了矛盾。或者考虑说谎者语句：“本语句为假”。它被认为是一个句子既真又假的例子。让我们稍加变形，考虑“本语句不为真”这句话。它的真值是什么呢？如果它为真，那么它所说的就是实际情况，所以它就不为真。但如果它不是真的，那么由于这就是它所说的，它就为真。同样，我们得到了一个矛盾。矛盾不只是一个句子取值可以既是 $T$ 又是 $F$，而是，一个句子可以既是 $T$ 又不是 $T$。

正是这类情形，使得自指是自欧布里德以来一直引起争论的主题。它的确是一个非常棘手的问题。

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本章要点

• 句子可以为真，为假，既真又假，或既不真又不假。

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