第6章：必然与可能：什么会是一定如此的？

我们不仅经常声称某事如此，而且还说它一定如此。我们说：“一定会下雨”，“不可能不下雨”，“必然地，会下雨”。我们也有很多不同方式说，可能是，尽管有时实际并非如此。我们说：“明天可能会下雨”，“明天下雨是可能的”，“明天下雨不是不可能的”。若 $a$ 是任一语句，逻辑学家通常将论断“$a$ 一定为真” 记作 $\Box a$，将论断“$a$ 可能为真”记作 $\Diamond a$。

$\Box$ 和 $\Diamond$ 称作模态算子（modal operators），因为它们表达了事情为真或为假（必然地，可能地）的模式。这两个算子其实是相互联系的。说某事一定如此，就是说它不可能不如此。即，$\Box a$ 和 $eg\Diamond\neg a$ 有相同的意思。类似的，说某事可能如此，就是说它不必然为假。即，$\Diamond a$ 和 $eg\Box\neg a$ 有相同的意思。另外，我们可以将不可能 $a$ 为真这一事实，无差别地表达为 $eg\Diamond a$（并非 $a$ 是可能的），或者表达为 $\Box\neg a$（$a$ 必然为假）。

与我们至今见过的其他算子不同，$\Box$ 和 $\Diamond$ 不是真值函数。我们在第2章看到，当你知道 $a$ 的真值，你就可以算出 $eg a$ 的真值。类似的，当你知道 $a$ 和 $b$ 的真值，你就能算出 $a\lor b$ 和 $a\land b$ 的真值。但你不能仅由知道 $a$ 的真值就推断出 $\Diamond a$ 的真值。比如，令 $r$ 为语句“我会在明天上午7点前起床”。$r$ 实际上为假。但它当然可以为真：我可以定好闹钟早点起床。因此，$\Diamond r$ 为真。作为对比，令 $j$ 为语句“我会从床上跳起并且悬浮在离地2米的空中”，同 $r$ 一样，$j$ 也为假。但与 $r$ 不同，它甚至不可能为真。那将违反万有引力定理。因此，$\Diamond j$ 为假。所以，语句 $a$ 的真值，并不决定 $\Diamond a$ 的真值：$r$ 和 $j$ 都为假，但 $\Diamond r$ 为真而 $\Diamond j$ 为假。同样，$a$的真值也不决定 $\Box a$ 的真值。现在令 $r$ 为语句“我会在明天上午8点前起床”。这事实上是真的，但并不必然为真。我可以赖在床上不起来。现在令 $j$ 为“如果我明早从床上跳起，我就会发生移动”。这句话也为真，但不可能为假。它必然为真。因此，$r$ 和 $j$ 都为真，但一个必然为真，另一个不是。

因此，模态算子是一类与我们见过的完全不同的算子。它们也是非常重要且常常令人困惑的算子。为了表明这一点，这有一个宿命论论证，它由古希腊两大哲学家中的另一位，亚里士多德提出。

宿命论是这样一种观点，任何发生的事情都必定会发生，它不可能避免。当一个事故出现，或一个人死了，没有什么可以阻止它发生。宿命论是一种对某些人很有吸引力的观点。当事情出现差错时，人们便可以从中获得些许安慰：事情不可能是其他样子的。但是，宿命论蕴含我无力改变什么会发生，而这显然是假的。如果我今天遇上车祸，我完全可以通过选择不同路线来避免它。 那么，亚里士多德是如何论证的呢？它是这样进行的。（暂时先忽略粗体部分，我们等会儿再讨论它。）

为了举例说明，考虑任何你喜欢的论断，比如，你明天会遇上车祸。现在，我们也许不知道它是否为真。但我们知道，我明天要么遇上车祸，要么不会。假设第一种情况为真，那么，事实上我会遇上车祸。**如果说我会遇上车祸是真的，那么我遇上车祸就不能不是如此。**即，我遇上车祸是必定如此的。另一方面，假设我事实上明天不会遇上车祸，那么，说我不会遇上车祸就为真。如果是这样，我不会遇上车祸就不可能不如此。即，我不会遇上车祸是必定如此的。不管这两种情况哪一个确实发生，它一定发生。这就是宿命论。

关于这个论证有什么可说的呢？为了回答这个问题，让我们看一下对模态算子的一种标准的现代理解。我们假设每个情形，$s$，都由一组可能性所装饰，即相对于 $s$ 可能的那些情形——为了确定起见，让我们假设是不违反物理定律的情形。这样，如果 $s$ 是我现在所处（在澳大利亚）的情形，我一周内在伦敦就是一个可能的情形；而我一周内在半人马座阿尔法星（超过4光年之遥）就不是一个可能的情形。沿用17世纪哲学家和逻辑学家莱布尼茨的用法，逻辑学家常把这些可能的情形形象地称为可能世界（possible world）。现在，说 $\Diamond a$（$a$ 是可能的）在 $s$ 中为真，就是说 $a$ 在至少一个与 $s$ 关联的可能世界中实际为真。说 $\Box a$（$a$ 是必然的）在 $s$ 中为真，就是说 $a$ 在所有与 $s$ 关联的可能世界中都为真。这就是为什么 $\Box$ 和 $\Diamond$ 不是真值函数。因为 $a$ 和 $b$ 可能在 $s$ 中有相同的真值，比方说 $F$，但可能在与 $s$ 关联的世界中有不同真值。比如，$a$ 在其中一个为真（比方说 $s'$），而 $b$ 在其中一个也不真，如图：

这种解释给了我们一种对含模态算子的推断进行分析的方法。比如，考虑推断：

$$\dfrac{\Diamond a\quad\Diamond b}{\Diamond(a\land b)}$$

它是无效的。要知道为什么，假设与 $s$ 关联的情形是 $s_1$ 和 $s_2$，且真值指派如下：

$a$ 在 $s_1$ 为 $T$，因此，$\Diamond a$ 在 $s$ 中为真。类似的，$b$ 在 $s_2$ 为 $T$，因此，$\Diamond b$ 在 $s$ 中为真。但没有一个关联世界中 $a\land b$ 为真，因此 $\Diamond(a\land b)$ 在 $s$ 中不为真。

相比之下，下面的推断是有效的：

$$\dfrac{\Box a\quad\Box b}{\Box(a\land b)}$$

因为如果前提在某个情形 $s$ 中为真，那么 $a$ 和 $b$ 在所有与 $s$ 关联的世界中都为真。这样 $a\land b$ 在所有这些世界中也为真，即 $\Box(a\land b)$ 在 $s$ 中为真。

在回到这与亚里士多德的论证有何关联这个问题之前，我们需要简要谈一下另一个我们还没见过的逻辑算子。让我们把“如果 $a$ 那么 $b$”记作 $a\to b$。这种形式的语句称为条件句（conditionals），我们在下一章会专门讨论。目前我们只需要知道，条件句涉及的主要推断如下：

$$\dfrac{a\quad a\to b}{b}$$

（比如，“如果她定期健身，她就会身材好。她确实定期健身；因此，她身材好。”现代逻辑学家通常用中世纪逻辑学家标记它的名称 modus ponens，来称呼这种推断。它的字面意思是“假设的方法”。（别问我为什么。）

现在，对于亚里士多德的论证，我们需要稍微考虑一下这种形式的条件句：

如果 $a$，那么不可能不是 $b$。

这样的句子实际上是有歧义的。一个意思是，如果 $a$ 实际上为真，那么 $b$ 必然为真。即，如果 $a$ 在我们谈论的情形 $s$ 中为真，那么 $b$ 在所有与 $s$ 关联的情形中都为真。我们可以把它记作 $a\to\Box b$。在说下面这样的话时，我们就是在这个意思上使用该语句：“你无法改变过去。如果某事在过去为真，它现在就不可能不为真。你没有办法让它变成其他样子：它是不可改变的。”

形如“如果 $a$，那么不可能不是 $b$”的条件句的第二个意思完全不同。我们经常用这种形式的文字来表达 $b$ 可以由 $a$ 推出这一事实。在说下面这样的话时，我们就是在这个意思上使用该语句：“如果弗雷德打算离婚，那么他不可能不是结了婚的。”我们不是在说，如果弗雷德打算离婚，那么他结了婚这件事是不可改变的。我们是在说，除非你结了婚，否则你不可能离婚。没有一个可能情形使得一个成立而另一个不成立。也就是说，在任何可能的情形中，只要一个为真，另一个也要为真。即，$\Box(a\to b)$ 为真。

现在，$a\to\Box b$ 和 $\Box(a\to b)$ 意指完全不同的东西。而且第一个无疑不能从第二个推出。仅 $a\to b$ 在每个与 $s$ 关联的情形都为真这一事实，并不意味着 $a\to\Box b$ 在 $s$ 中为真。$a$ 可以在 $s$ 中为真，而 $\Box b$ 不为真：$b$ 和 $a$ 在某些关联世界中可以都不为真。或者，给一个具体的反例吧：如果约翰正在离婚，那么他是结了婚的，这是必然真的。但，如果约翰正在离婚，那么他是必然（不可改变地）结了婚的，这无疑不为真。

最后回到亚里士多德的论证。考虑我前面加粗的句子：“如果说我会遇上车祸是真的，那么我遇上车祸就不能不是如此”。这恰好是我们刚讨论过的形式。所以它是有歧义的。而且，这个论证利用了这种歧义。如果 $a$ 是语句“说我会遇上车祸是真的”，$b$ 是语句“我会遇上车祸”，那么粗体的条件句在下面的意义上为真：

$1.\ \Box(a\to b)$

必然地，如果说某事为真，那么它的确如此。但需要确立的是：

$2.\ a\to\Box b$

毕竟，该论证的下一步正好是根据分离规则（modus ponens） 由 $a$ 得到 $\Box b$。但我们已经看到，$2$ 根本不能由 $1$ 推出。因此，亚里士多德的论证是无效的。另外，同样的问题出现在该论证的第二部分，它使用了条件句“如果说我不会遇上车祸为真，那么我不遇上车祸就不可能不如此”。

这似乎是对亚里士多德论证的一个令人满意的回答。但有一个与之密切相关的论证却无法这么轻易得到回答。确乎为真的是，如果某个关于过去的陈述为真，那么它现在必然为真。不可能在现在使得其为假。黑斯廷斯之战发生在 1066 年，现在没有什么办法可以让它发生在 1067 年。因此，如果 $p$ 是一个关于过去的陈述，那么 $p\to \Box p$。

现在考虑某个关于未来的陈述。比方说还是这个论断：我会在明天遇上车祸。假设它为真。那么如果有人在 100 年前说了这句话，他们说的就是真的。即使实际上没人说过这句话，只要有人真的说过，他们说的就是真的。这样，我会在明天遇上车祸就在 100 年前为真。这一陈述（$p$）当然是关于过去的陈述，因而，既然它为真，它必然为真（$\Box p$）。因此，我明天遇上车祸就一定必然为真。但这只是一个例子，同样的论证可以应用于任何事。这样，任何发生之事，必然发生。这个宿命论论证并没有犯和我前面给出的第一个论证相同的谬误（即，使用同样的无效论证）。所以，宿命论终究是真的吗？

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本章要点

• 每个情形都有一集与之关联的可能情形。

• $\Box a$ 在某个情形 $s$ 中为真，若 $a$ 在每个与 $s$ 关联的情形中为真。

• $\Diamond a$ 在某个情形 $s$ 中为真，若 $a$ 在某个与 $s$ 关联的情形中为真。

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1. 译者注：更好的办法其实是不出门。

2. 译者注：参见尾注 3。