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# 第6章：必然与可能：什么会是一定如此的？

我们不仅经常声称某事如此，而且还说它**一定**如此。我们说：“一定会下雨”，“不可能不下雨”，“必然地，会下雨”。我们也有很多不同方式说，**可能**是，尽管有时实际并非如此。我们说：“明天可能会下雨”，“明天下雨是可能的”，“明天下雨不是不可能的”。若 $$a$$ 是任一语句，逻辑学家通常将论断“$$a$$ 一定为真” 记作 $$\Box a$$，将论断“$$a$$ 可能为真”记作 $$\Diamond a$$。

$$\Box$$ 和 $$\Diamond$$ 称作**模态算子**（*modal operators*），因为它们表达了事情为真或为假（必然地，可能地）的模式。这两个算子其实是相互联系的。说某事一定如此，就是说它不可能不如此。即，$$\Box a$$ 和 $$eg\Diamond\neg a$$ 有相同的意思。类似的，说某事可能如此，就是说它不必然为假。即，$$\Diamond a$$ 和 $$eg\Box\neg a$$ 有相同的意思。另外，我们可以将不可能 $$a$$ 为真这一事实，无差别地表达为 $$eg\Diamond a$$（并非 $$a$$ 是可能的），或者表达为 $$\Box\neg a$$（$$a$$ 必然为假）。

与我们至今见过的其他算子不同，$$\Box$$ 和 $$\Diamond$$ 不是真值函数。我们在第2章看到，当你知道 $$a$$ 的真值，你就可以算出 $$eg a$$ 的真值。类似的，当你知道 $$a$$ 和 $$b$$ 的真值，你就能算出 $$a\lor b$$ 和 $$a\land b$$ 的真值。但你不能仅由知道 $$a$$ 的真值就推断出 $$\Diamond a$$ 的真值。比如，令 $$r$$ 为语句“我会在明天上午7点前起床”。$$r$$ 实际上为假。但它当然可以为真：我可以定好闹钟早点起床。因此，$$\Diamond r$$ 为真。作为对比，令 $$j$$ 为语句“我会从床上跳起并且悬浮在离地2米的空中”，同 $$r$$ 一样，$$j$$ 也为假。但与 $$r$$ 不同，它甚至不可能为真。那将违反万有引力定理。因此，$$\Diamond j$$ 为假。所以，语句 $$a$$ 的真值，并不决定 $$\Diamond a$$ 的真值：$$r$$ 和 $$j$$ 都为假，但 $$\Diamond r$$ 为真而 $$\Diamond j$$ 为假。同样，$$a$$的真值也不决定 $$\Box a$$ 的真值。现在令 $$r$$ 为语句“我会在明天上午8点前起床”。这事实上是真的，但并不必然为真。我可以赖在床上不起来。现在令 $$j$$ 为“如果我明早从床上跳起，我就会发生移动”。这句话也为真，但不可能为假。它必然为真。因此，$$r$$ 和 $$j$$ 都为真，但一个必然为真，另一个不是。

因此，模态算子是一类与我们见过的完全不同的算子。它们也是非常重要且常常令人困惑的算子。为了表明这一点，这有一个宿命论论证，它由古希腊两大哲学家中的另一位，亚里士多德提出。

宿命论是这样一种观点，任何发生的事情都必定会发生，它不可能避免。当一个事故出现，或一个人死了，没有什么可以阻止它发生。宿命论是一种对某些人很有吸引力的观点。当事情出现差错时，人们便可以从中获得些许安慰：事情不可能是其他样子的。但是，宿命论蕴含我无力改变什么会发生，而这显然是假的。如果我今天遇上车祸，我完全可以通过选择不同路线来避免它。 那么，亚里士多德是如何论证的呢？它是这样进行的。（暂时先忽略粗体部分，我们等会儿再讨论它。）

为了举例说明，考虑任何你喜欢的论断，比如，你明天会遇上车祸。现在，我们也许不知道它是否为真。但我们知道，我明天要么遇上车祸，要么不会。假设第一种情况为真，那么，事实上我会遇上车祸。\*\*如果说我会遇上车祸是真的，那么我遇上车祸就不能不是如此。\*\*即，我遇上车祸是必定如此的。另一方面，假设我事实上明天不会遇上车祸，那么，说我不会遇上车祸就为真。如果是这样，我不会遇上车祸就不可能不如此。即，我不会遇上车祸是必定如此的。不管这两种情况哪一个确实发生，它一定发生。这就是宿命论。

关于这个论证有什么可说的呢？为了回答这个问题，让我们看一下对模态算子的一种标准的现代理解。我们假设每个情形，$$s$$，都由一组可能性所装饰，即相对于 $$s$$ 可能的那些情形——为了确定起见，让我们假设是不违反物理定律的情形。这样，如果 $$s$$ 是我现在所处（在澳大利亚）的情形，我一周内在伦敦就是一个可能的情形；而我一周内在半人马座阿尔法星（超过4光年之遥）就不是一个可能的情形。沿用17世纪哲学家和逻辑学家莱布尼茨的用法，逻辑学家常把这些可能的情形形象地称为**可能世界**（*possible world*）。现在，说 $$\Diamond a$$（$$a$$ 是可能的）在 $$s$$ 中为真，就是说 $$a$$ 在至少一个与 $$s$$ 关联的可能世界中实际为真。说 $$\Box a$$（$$a$$ 是必然的）在 $$s$$ 中为真，就是说 $$a$$ 在所有与 $$s$$ 关联的可能世界中都为真。这就是为什么 $$\Box$$ 和 $$\Diamond$$ 不是真值函数。因为 $$a$$ 和 $$b$$ 可能在 $$s$$ 中有相同的真值，比方说 $$F$$，但可能在与 $$s$$ 关联的世界中有不同真值。比如，$$a$$ 在其中一个为真（比方说 $$s'$$），而 $$b$$ 在其中一个也不真，如图：

![](/files/-M44_mg6qGf1strHBOEw)

这种解释给了我们一种对含模态算子的推断进行分析的方法。比如，考虑推断：

$$
\dfrac{\Diamond a\quad\Diamond b}{\Diamond(a\land b)}
$$

它是无效的。要知道为什么，假设与 $$s$$ 关联的情形是 $$s\_1$$ 和 $$s\_2$$，且真值指派如下：

![](/files/-M44_mg8Gjl8FOWSMI50)

$$a$$ 在 $$s\_1$$ 为 $$T$$，因此，$$\Diamond a$$ 在 $$s$$ 中为真。类似的，$$b$$ 在 $$s\_2$$ 为 $$T$$，因此，$$\Diamond b$$ 在 $$s$$ 中为真。但没有一个关联世界中 $$a\land b$$ 为真，因此 $$\Diamond(a\land b)$$ 在 $$s$$ 中不为真。

相比之下，下面的推断是有效的：

$$
\dfrac{\Box a\quad\Box b}{\Box(a\land b)}
$$

因为如果前提在某个情形 $$s$$ 中为真，那么 $$a$$ 和 $$b$$ 在所有与 $$s$$ 关联的世界中都为真。这样 $$a\land b$$ 在所有这些世界中也为真，即 $$\Box(a\land b)$$ 在 $$s$$ 中为真。

在回到这与亚里士多德的论证有何关联这个问题之前，我们需要简要谈一下另一个我们还没见过的逻辑算子。让我们把“如果 $$a$$ 那么 $$b$$”记作 $$a\to b$$。这种形式的语句称为**条件句**（*conditionals*），我们在下一章会专门讨论。目前我们只需要知道，条件句涉及的主要推断如下：

$$
\dfrac{a\quad a\to b}{b}
$$

（比如，“如果她定期健身，她就会身材好。她确实定期健身；因此，她身材好。”现代逻辑学家通常用中世纪逻辑学家标记它的名称 modus ponens，来称呼这种推断。它的字面意思是“假设的方法”。（别问我为什么。）

现在，对于亚里士多德的论证，我们需要稍微考虑一下这种形式的条件句：

> 如果 $$a$$，那么不可能不是 $$b$$。

这样的句子实际上是有歧义的。一个意思是，如果 $$a$$ 实际上为真，那么 $$b$$ 必然为真。即，如果 $$a$$ 在我们谈论的情形 $$s$$ 中为真，那么 $$b$$ 在所有与 $$s$$ 关联的情形中都为真。我们可以把它记作 $$a\to\Box b$$。在说下面这样的话时，我们就是在这个意思上使用该语句：“你无法改变过去。如果某事在过去为真，它现在就不可能不为真。你没有办法让它变成其他样子：它是不可改变的。”

形如“如果 $$a$$，那么不可能不是 $$b$$”的条件句的第二个意思完全不同。我们经常用这种形式的文字来表达 $$b$$ 可以由 $$a$$ 推出这一事实。在说下面这样的话时，我们就是在这个意思上使用该语句：“如果弗雷德打算离婚，那么他不可能不是结了婚的。”我们不是在说，如果弗雷德打算离婚，那么他结了婚这件事是不可改变的。我们是在说，除非你结了婚，否则你不可能离婚。没有一个可能情形使得一个成立而另一个不成立。也就是说，在任何可能的情形中，只要一个为真，另一个也要为真。即，$$\Box(a\to b)$$ 为真。

现在，$$a\to\Box b$$ 和 $$\Box(a\to b)$$ 意指完全不同的东西。而且第一个无疑不能从第二个推出。仅 $$a\to b$$ 在每个与 $$s$$ 关联的情形都为真这一事实，并不意味着 $$a\to\Box b$$ 在 $$s$$ 中为真。$$a$$ 可以在 $$s$$ 中为真，而 $$\Box b$$ 不为真：$$b$$ 和 $$a$$ 在某些关联世界中可以都不为真。或者，给一个具体的反例吧：如果约翰正在离婚，那么他是结了婚的，这是必然真的。但，如果约翰正在离婚，那么他是必然（不可改变地）结了婚的，这无疑不为真。

最后回到亚里士多德的论证。考虑我前面加粗的句子：“如果说我会遇上车祸是真的，那么我遇上车祸就不能不是如此”。这恰好是我们刚讨论过的形式。所以它是有歧义的。而且，这个论证利用了这种歧义。如果 $$a$$ 是语句“说我会遇上车祸是真的”，$$b$$ 是语句“我会遇上车祸”，那么粗体的条件句在下面的意义上为真：

$$1.\ \Box(a\to b)$$

必然地，如果说某事为真，那么它的确如此。但需要确立的是：

$$2.\ a\to\Box b$$

毕竟，该论证的下一步正好是根据**分离规则**（*modus ponens*） 由 $$a$$ 得到 $$\Box b$$。但我们已经看到，$$2$$ 根本不能由 $$1$$ 推出。因此，亚里士多德的论证是无效的。另外，同样的问题出现在该论证的第二部分，它使用了条件句“如果说我不会遇上车祸为真，那么我不遇上车祸就不可能不如此”。

这似乎是对亚里士多德论证的一个令人满意的回答。但有一个与之密切相关的论证却无法这么轻易得到回答。确乎为真的是，如果某个关于过去的陈述为真，那么它现在必然为真。不可能在现在使得其为假。黑斯廷斯之战发生在 1066 年，现在没有什么办法可以让它发生在 1067 年。因此，如果 $$p$$ 是一个关于过去的陈述，那么 $$p\to \Box p$$。

现在考虑某个关于未来的陈述。比方说还是这个论断：我会在明天遇上车祸。假设它为真。那么如果有人在 100 年前说了这句话，他们说的就是真的。即使实际上没人说过这句话，只要有人真的说过，他们说的就是真的。这样，我会在明天遇上车祸就在 100 年前为真。这一陈述（$$p$$）当然是关于过去的陈述，因而，既然它为真，它必然为真（$$\Box p$$）。因此，我明天遇上车祸就一定必然为真。但这只是一个例子，同样的论证可以应用于任何事。这样，任何发生之事，必然发生。这个宿命论论证并没有犯和我前面给出的第一个论证相同的谬误（即，使用同样的无效论证）。所以，宿命论终究是真的吗？

***

> 本章要点
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> * 每个情形都有一集与之关联的可能情形。
> * $$\Box a$$ 在某个情形 $$s$$ 中为真，若 $$a$$ 在每个与 $$s$$ 关联的情形中为真。
> * $$\Diamond a$$ 在某个情形 $$s$$ 中为真，若 $$a$$ 在某个与 $$s$$ 关联的情形中为真。

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1. 译者注：更好的办法其实是不出门。
2. 译者注：参见尾注 3。