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# 第11章：概率：缺少参照类的奇怪情形

前面各章让我们初步认识了哪些推断是演绎有效的，以及为什么。现在该回到归纳有效性这个问题了，它是这样一些推断的有效性：前提对结论提供了根据，但即使在某个情形下前提都为真，结论仍然可以为假。

正如我在第 1 章中提到的，夏洛克·福尔摩斯很擅长这类推断。让我们以他的一个推断作为例子开头。《红发会》之谜是这样开始的：福尔摩斯和华生博士受到了来自 Jabez Wilson 先生的拜访。当 Wilson 进来后，华生想看看福尔摩斯对他作了哪些推断：

> “他干过一段时间体力活，吸鼻烟，是共济会成员，去过中国，最近写过不少东西，除了这些显而易见的事实外，我推不出什么别的。”
>
> Jabez Wilson 从他的椅子上突然站起，手指仍然压着报纸，但眼睛已经转向我的同伴。
>
> “我的天呐，福尔摩斯先生，你怎么知道所有这些的？”他问道。

福尔摩斯高兴地进行了解释。比如，关于写作：

> “你右手袖子上足有五寸长的地方闪闪发光，而左袖靠近手腕经常贴在桌面上的地方打了个整洁的补丁。这还能说明什么别的吗？”

尽管福尔摩斯习惯把这样的推断称为演绎，它事实上是一个归纳推断。完全有可能 Wilson 的外套会呈现上述特征但他并没有从事过大量写作。比如，他可以从某个从事过大量写作的人那里偷来这件外套。但是，福尔摩斯的推断无疑是一个很好的推断。是什么使得这个推断，以及这类推断是好的呢？一个合理的回答是使用概率进行解释。因此，让我们先来谈一下概率，然后再回到这个问题。

概率就是指派给语句的一个数字，用来度量该语句为真有多大可能（在某种意义上）。让我们把 $$a$$ 的概率记作 $$pr(a)$$。按惯例，我们用 0 和 1之间的数值来度量概率。若 $$pr(a)=0$$，则 $$a$$ 确定为假；随着 $$pr(a)$$ 增加，$$a$$ 为真的可能性就越大，直到 $$pr(a)=1$$，$$a$$ 确定为真。

关于这些数字还有什么其他可说的呢？让我们用一个简单的例子来解释。假设我们考虑某个特定星期的那些天。令 $$w$$ 为每天要么为真要么为假的语句，比如“今天暖和”，令 $$r$$ 是另一个这样的语句，比如“今天下雨”。相关信息由下表给出：

|       |  周一 |       周二       |       周三       |       周四       |  周五 |       周六       |       周日       |
| :---: | :-: | :------------: | :------------: | :------------: | :-: | :------------: | :------------: |
| $$w$$ |     |                | $$\checkmark$$ | $$\checkmark$$ |     | $$\checkmark$$ | $$\checkmark$$ |
| $$r$$ |     | $$\checkmark$$ | $$\checkmark$$ |                |     | $$\checkmark$$ |                |

打勾表示语句在那一天为真，空白表示不为真。

现在，如果我们谈论的是这个特定的星期，随机选取的一天是暖和的概率是多少呢？有 4 天暖和，总共有 7 天。因此概率是 4/7。类似的，有 3 天下雨，因此下雨的概率是 3/7：

> $$pr(w)=4/7$$
>
> $$pr(r)=3/7$$

一般地，如果我们将 $$a$$ 为真的天数记为 $$#a$$，将总天数记为 $$N$$，则：

> $$pr(a)= #a/N$$

概率如何与否定、合取和析取相联系呢？首先看否定。$$\neg w$$ 的概率是多少？有 3 天不是暖和的，因此 $$pr(\neg w)=3/7$$。注意到 $$pr(w)$$ 和 $$pr(\neg w)$$ 加起来等于 1。这并非偶然。我们有：

> $$#w+#\neg w=N$$

两边除以 $$N$$ 得到：

> $$\dfrac{#w}{N}+\dfrac{#\neg w}{N}=1$$

即，$$pr(w)+pr(\neg w)=1$$。

合取和析取的情况如下：有 2 天既暖和又下雨，因此 $$pr(w\land r)=#(w\land r)/N=2/7$$。有 5 天暖和或者下雨，因此 $$pr(w\lor r)=#(w\lor r)/N=5/7$$。这两个数字之间有什么关系呢？为了找出 $$w\lor r$$ 为真的天数，我们可以先把 $$w$$ 为真的天数和 $$r$$ 为真的天数加起来。这还不完全对，因为有些天被计算了两次：周三和周六。这两天既下雨又暖和。因此为了得到正确的数字，我们得减去二者都为真的天数：

$$
\#(w\lor r)=#w+#r-#(w\land r)
$$

两边除以 $$N$$ 得到：

$$
\dfrac{#(w\lor r)}{N}=\dfrac{#w}{N}+\dfrac{#r}{N}-\dfrac{#(w\land r)}{N}
$$

即：

$$
pr(w\lor r)=pr(w)+pr(r)-pr(w\land r)
$$

这是合取式和析取式概率的一般关系。

上一章我们看到，真的程度也可以用 0 和 1 之间的数来度量。因而我们也许会自然地认为，真的程度与概率是一样的。它们并不一样。特别的，合取和析取以完全不同的方式运算。对真的程度，析取是一个真值函数。具体而言，$$|w\lor r|$$ 是 $$|w|$$ 和 $$|r|$$ 的极大值。但我们刚才已看到，$$pr(w\lor r)$$ 并不由 $$pr(w)$$ 和 $$pr(r)$$ 单独决定。特别的，对我们的 $$w$$ 和 $$r$$，$$pr(w)=4/7$$，$$pr(r)=3/7$$，而 $$pr(w\lor r)=5/7$$。但如果 $$|w|=4/7$$ 且 $$|r|=3/7$$，则 $$|w\lor r|=4/7$$ 而不是 $$5/7$$。

在我们回到归纳推断之前，我们还需要一点关于概率的知识。给定我们的样本星期，随机选取的某天下雨的概率为 3/7。但假设你知道选取的那天是暖和的，那么那天下雨的概率是多少呢？有 4 天是暖和的，但其中只有 2 天下雨，因此概率为 2/4。这个数字称为**条件概率**（*conditional probability*），记作 $$pr(r|w)$$，表示给定 $$w$$ 的条件下 $$r$$ 的概率。如果我们稍加思考，就能给出计算条件概率的一般公式。我们是怎么得到 2/4 这个数的呢？首先，我们把自己限制在 $$w$$ 为真的那些天，然后用其中 $$r$$ 为真的天数（即 $$w$$ 和 $$r$$ 都为真的天数）除以这个天数。换言之：

$$
pr(r|w)=#(w\land r)\div#w
$$

运用一点代数知识，这等于

$$
\dfrac{#(w\land r)}{N}\div\dfrac{#w}{N}
$$

而这就是 $$pr(w\land r)\div pr(w)$$。

因此，下面是计算条件概率的一般公式：

$$\mathbf{CP}:\ pr(w|r)=pr(w\land r)/pr(w)$$

应用该公式要小心一点。除以 0 是没有意义的。比如，3/0 没有值。数学家称这种比率是**未定义的**（*undefined*）。在计算 $$pr(w|r)$$ 的公式中，我们用 $$pr(w)$$ 作除数，这只有在它不等于 0 时才有意义，即只有在 $$w$$ 至少有时为真时才有意义。否则，这个条件概率就是未定义的。

现在我们终于能回到归纳推断上来。一个推断是归纳有效的是指什么呢？就是前提使得结论比其否定更加可能。即，给定前提（或多个前提的合取）$$p$$ 的条件下，结论 $$c$$ 的条件概率大于 $$c$$ 的否定的条件概率：

$$
pr(c|p)>pr(\neg c|p)
$$

因此，如果我们对我们举例说明的星期进行推理，以下推断：

> 这天下雨；因此这天暖和

就是归纳有效的。因为容易验证，$$pr(w|r)=2/3$$ 而 $$pr(\neg w|r)=1/3$$。

这个分析可以用来表明，为什么我们开头那个福尔摩斯的推断是有效的。 福尔摩斯得出结论说 Jabez Wilson 从事过大量写作（$$c$$）。他的前提大致意思是，Wilson 的夹克上有一些特定的穿着标记（$$p$$）。现在，假如我们回到福尔摩斯时代的伦敦，聚集所有那些有上述磨损袖口的人，那么其中大多数会是职员，工作时间都花在写作上——或者我们可以假设如此。这样，给定 Jabez 的外套具有那些标记的条件下，Jabez 从事过大量写作的概率就比没有更高。福尔摩斯的推断的确是归纳有效的。

我将以我刚给出的这套工具产生的一个难题结束本章。我们已看到，概率可以计算为一个比率：我们选取特定的参照类，计算其中各组的数字，然后做些除法。但我们使用哪个参照类呢？在关于天气的示例中，我一开始限定了所考虑的参照类：某个特定星期的那些天。但现实生活问题不会以这种方式提出。回到 Jabez Wilson 的例子。要计算这种情况的相关概率，我建议采用的参照类是福尔摩斯时代的伦敦居民。但为什么是这个呢？为什么不是整个英国的居民，或者欧洲的居民，或者只是伦敦居民中的男性，或者只是那些能来拜访福尔摩斯的人？也许，在这里的某些情形，并没有太大差别。但在其他情形当然会有区别。比如，来拜访福尔摩斯的人都相对富有，不太可能穿二手外套。在更大的人群中情况会完全不同。那么，什么才应该是恰当的参照类呢？这是某种程度上让精算师（为保险公司计算风险系数的人）彻夜不眠的问题。

在上一个分析里，最精确的参照类似乎就只包含 Wilson 本人。毕竟，关于**其他人**的事实最终和他有多大关系呢？但这样一来，他要么从事过大量写作，要么没有。在第一种情况下，给定他有闪亮袖口的条件下他从事过大量写作的概率为 1，因而推断有效；在第二种情况下，概率为 0，因而推断无效。换言之，该推断的有效性完全依赖于结论的真假。因此，你无法为了确定结论的真假而使用这个推断。如果我们走到这个地步，那么给出的有效性概念就毫无用处了。

> 本章要点
>
> * 一个陈述的概率是它为真的情形的数量除以参照类中情形的数量。
> * $$pr(\neg a)=1-pr(a)$$
> * $$pr(a\lor b)=pr(a)+pr(b)-pr(a\land b)$$
> * $$pr(a|b)=pr(a\land b)/pr(b)$$
> * 一个推断是归纳有效的，当且仅当给定前提（的合取）的条件下，结论的条件概率大于其否定在给定前提（的合取）的条件下的条件概率。