这个论证常被称作“由于设计的论证(Argument from Design)”(为了证明上帝存在)。也许更好的叫法是,为了设计的论证(Argument to Design),但这不重要。让我们更仔细地考虑一下这个论证。该论证的前提 o 大致是这样的陈述:宇宙以某种方式形成秩序。结论 g 断言,存在一个造物者上帝。除非 g 为真,否则 o 是极不可能的;因此,该论证进一步得到:既然有 o,g 是很可能的。
现在,显然为真的是,给定 g 为真的条件下 o 的条件概率远大于给定 g 不为真的条件下 o 的条件概率:
1. pr(o∣g)>pr(o∣¬g)
但这并没有给出我们想要的。o 要成为 g 的一个好的归纳理由,我们需要的是:给定 o 的条件下 g 的条件概率大于其否定的条件概率:
2. pr(g∣o)>pr(¬g∣o)
而 pr(o∣g) 是高概率并不必然意味着 pr(g∣o) 也是高概率。比如,给定你在野外看见袋鼠的条件下,你在澳大利亚的概率会很高。(任何其他地方,它只能是从动物园跑出来的。)但给定你在澳大利亚的条件下,你在野外看见袋鼠的概率却很低。(我在澳大利亚住了 10 年才看见一只。)
pr(o∣g) 和 pr(g∣o) 称为(互)逆概率(inverse probabilities)。我们已经看到的是,设计论证要成立的话,二者之间的关系必须能让我们从 1 得到 2。是否如此呢?事实上,互逆概率之间存在一个非常简单的关系。回想一下上一章的公式 CP,根据定义:
pr(a∣b)=pr(a∧b)/pr(b) 3. pr(a∣b)×pr(b)=pr(a∧b)
pr(b∣a)=pr(b∧a)/pr(a) 4. pr(b∣a)×pr(a)=pr(b∧a)
但 pr(a∧b)=pr(b∧a)(因为 a∧b 和 b∧a 为真的情形完全一样)。这样,由 3 和 4 可得:
pr(a∣b)×pr(b)=pr(b∣a)×pr(a) 假定 pr(b) 不为 0——下面作这类假定时不再说明——我们可以将等式变形得到:
Inv: pr(a∣b)=pr(b∣a)×pr(a)/pr(b)
这就是互逆概率之间的关系。(要记住这个公式,注意到下面的顺序可能会有所帮助:等式右边先是 b,后面跟着 a,然后是 a,后面跟着 b。)
使用 Inv 对 1 中的互逆概率进行改写得到:
pr(g∣o)×pr(g)pr(o)>pr(¬g∣o)×pr(¬g)pr(o) pr(g)pr(g∣o)>pr(¬g)pr(¬g∣o) 5. pr(¬g∣o)pr(g∣o)>pr(¬g)pr(g)
回想一下,设计论证要成立的话我们必须得到 2,而它等价于:
pr(¬g∣o)pr(g∣o)>1 而要由 5 得到 2,合理的假设似乎只有 pr(¬g)pr(g)≥1,即:
pr(g)≥pr(¬g) pr(g) 和 pr(¬g) 的值称作先验概率(prior probabilities),即,先于使用任何证据(比如 o)时 g 和 ¬g 的概率。因此,要使得该论证通过的话,我们似乎需要的是,存在造物者上帝的先验概率大于(或等于)不存在的概率。
是否如此呢?不幸的是,没有理由认为是这样。事实上,情况似乎正好相反。假设你不知道今天星期几。令 m 为假设:今天星期一。那么 ¬m 就是假设:今天不是星期一。哪一个更有可能呢?m 还是 ¬m?当然是 ¬m:因为比起今天是星期一,有更多的方式使得今天不是星期一。(今天可以是星期二,星期三,星期四……)关于上帝也是类似的。可以设想,宇宙可以有很多不同的方式。直觉上,其中有显著秩序的要相对少得多:秩序是某种特殊的东西。毕竟,这就是设计论证的前提。但这样一来,其中有秩序制定者(orderer)的可能宇宙也要相对少得多。由此推理可得,没有造物主的可能性比有造物主的可能性要大得多。
许多归纳论证要求我们对互逆概率进行推理。设计论证在这方面并不特殊。但许多论证在这方面做得更成功。让我举例说明。假设你去当地赌场。有两个轮盘赌的轮盘。称它们为 A 和 B。一个朋友告诉你,其中一个轮盘被做了手脚——不过朋友不能告诉你究竟是哪一个。一个公平的轮盘在一半时间停在红色,一半时间停在黑色,而被做过手脚的轮盘 3/4 的时间停在红色,1/4 的时间停在黑色。(严格说来,真实的轮盘还会偶尔停在绿色,但为了简单起见让我们忽略这一点。)现在,假设你观察其中一个轮盘,比方说 A,经过 5 次连续旋转后结果如下:
(R 表示红色,B 表示黑色)。你有理由推断这就是那个被做过手脚的轮盘吗?换言之,令 c 是大致这样的陈述:这个特定的序列出现,令 f 为陈述:轮盘 A 被做过手脚,那么从 c 到 f 的推断是个好的归纳推断吗?
我们需要知道 pr(f∣c)>pr(¬f∣c) 是否成立。使用公式 Inv 将其转换为逆概率之间的关系,我们得到:
pr(c∣f)×pr(c)pr(f)>pr(c∣¬f)×pr(c)pr(¬f) 两边同时乘以 pr(c) 得到:
pr(c∣f)×pr(f)>pr(c∣¬f)×pr(¬f) 它是否为真呢?首先,f 和 ¬f 的先验概率是多少呢?我们知道要么 A 要么 B 被做了手脚。我们没有更多的理由相信它就是 A 而不是 B,反过来也是如此。因此该轮盘是 A 的概率是 1/2,是 B 的概率也是 1/2。换言之,pr(f)=1/2 且 pr(¬f)=1/2。因此,我们可以在上面的等式两边消去它们,得到:
pr(c∣f)>pr(c∣¬f) 给定轮盘像上面描述的那样被做了手脚的条件下,观察到由 c 陈述的序列的概率 pr(c∣f) 为:(3/4)4×(1/4)(如果你不知道为什么,不要紧,相信我的计算),也就是 81/45,算出来等于 0.079。给定轮盘没有被做过手脚因而是公平的条件下,观察到该序列的概率 pr(c∣¬f) 为 (1/2)5(同样,请相信我的计算),算出来等于 0.031,小于 0.079。因此,推断是有效的。
这里我们计算先验概率的方法值得注意。我们有两种可能性:要么轮盘 A 被做了手脚,要么轮盘 B 被做了手脚。而我们没有任何信息能区分这两种可能性。因此我们指派相同的概率给它们。这是一种被称作无差别原则(Principle of Indifference)的应用。该原则告诉我们,当我们有若干可能性,它们之间没有任何相关差别时,它们就有相同的概率。这样,如果总共有 N 个可能性,每一个的概率就是 1/N。无差别原则是一种对称性原理。
注意,我们不能在设计论证中应用无差别原则。在轮盘赌的例子中,有两个完全对称的可能情形:轮盘 A 被做了手脚,轮盘 B 被做了手脚。在设计论证中,有两个情形:造物者上帝存在,造物者上帝不存在。但这两个情形并不比今天是星期一和今天不是星期一更加对称。正如我们看到的,直觉上,没有造物主的可能性要远远大于有造物主的可能性。
pr(a∣b)=pr(b∣a)×pr(b)pr(a)