第7章：条件句：“如果”中有什么？

本章我们将讨论在上一章附带引入的逻辑算子——条件句。回想一下，条件句就是形如“如果 $a$ 那么 $c$”的语句，我们现在记作 $a\to c$。逻辑学家称 $a$ 为该条件句的前件（antecedent），$c$ 为该条件句的后件（consequent）。我们还提到，关于条件句的一个最基本的推断是分离规则：$a,a\to c/c$。条件句是我们许多推理的重要基础。上一章就举过一个这方面的例子。不过，条件句却十分令人困惑。它们自逻辑学最早期开始就得到了研究。事实上，据一位古代评论家（Callimachus）说，甚至屋顶上的乌鸦也曾叫嚷着条件句。

让我们看看为什么——或者至少一个理由为什么——条件句是令人困惑的。如果你知道 $a\to c$，似乎你就能推出 $\neg(a\land\neg c)$（并非 $a$ 且 $\neg c$）。比如，假设有人通知你，如果你错过巴士，你就会迟到。你就能从中推出，你错过巴士而又不迟到为假。反过来，如果你知道 $\neg(a\land\neg c)$，似乎你就能从中推出 $a\to c$。比如，假设有人告诉你，你不会去看电影而不花钱（并非你去看电影且不花钱）。你就能推出，如果你去看电影，你就要花钱。

$\neg(a\land\neg c)$ 常被记作 $a\supset c$，称为实质条件句（material conditional）。这样，似乎 $a\to c$ 和 $a\supset c$ 意指同样的事。特别的，使用第 2 章的逻辑工具，它们有相同的真值表。作为一个简单练习，我请读者自行验证，该真值表如下：

$a$	$c$	$a\supset c$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$

但这很奇怪。它意味着若 $c$ 在某个情形为真（第 1 和第 3 行），则 $a\to c$ 也为真。这不可能是对的。比如，堪培拉是澳大利亚首都，这是真的，但条件句“如果堪培拉不是澳大利亚首都，那么堪培拉是澳大利亚首都”似乎明显为假。类似的，该真值表向我们表明，若 $a$ 为假（第 3 和第 4 行），则 $a\to c$ 为真。但这也不可能是对的。条件句“如果悉尼是澳大利亚首都，那么布里斯班是澳大利亚首都”似乎也明显为假。哪里出问题了呢？

这些例子似乎表明，$\to$ 不是真值函数：$a\to c$ 的真值不由 $a$ 和 $c$ 的真值确定。“罗马在法国”和“北京在法国”都为假，但下面这句话为真：

如果意大利是法国的一部分，那么罗马在法国。

而下面这句话为假：

如果意大利是法国的一部分，那么北京在法国。

那么，条件句是如何工作的呢？

一种回答是使用上一章给出的可能世界工具。考虑上面两个条件句。在任何意大利真的被并入法国的可能情形中，罗马的确会在法国。但存在意大利被并入法国的可能情形，而这对中国毫无影响。因此，北京仍然不在法国。这提示我们，条件句 $a\to c$ 在某个情形 $s$ 中为真，只要 $c$ 在所有与 $s$ 关联且 $a$ 为真的情形中都为真；它为假，若 $c$ 在某个与 $s$ 关联且 $a$ 为真的情形中为假。

这给了我们 $\to$ 一个看上去合理的解释。例如，它表明了为什么分离规则是有效的——至少在某个假设下。该假设是，我们把 $s$ 自身算作一个与 $s$ 相关的情形。这似乎是合理的，$s$ 中任何实际的情况当然是可能的情况。现在，假设 $a$ 和 $a\to c$ 在某个情形 $s$ 为真。那么，$c$ 在所有与 $s$ 关联且 $a$ 为真的情形中为真。但 $s$ 就是这样的一个情形（与 $s$ 关联且 $a$ 在其中为真），因此 $c$ 在 $s$ 中为真，这正是我们要证的结果。

回到我们开头那个论证。我们现在就能看出为什么它不成立。该论证所依赖的推断是：

$\dfrac{\neg(a\land\neg c)}{a\to c}$

而这个推断不是有效的。例如，如果 $a$ 在某个情形 $s$ 为 $F$，这足以使得前提在 $s$ 为真。但这并没有告诉我们在与 $s$ 关联的可能情形中 $a$ 和 $c$ 会如何表现。完全有可能在其中一个可能情形，比方说 $s'$ 中，$a$ 为真而 $c$ 不为真，如图：

因此，$a\to c$ 在 $s$ 不为真。

我们早先谈到的那个例子怎么样呢（你被告知你不会去电影院而不花钱）？那个推断看上去难道不是有效的吗？假设你知道你不会去看电影而不花钱：$\neg(g\land\neg m)$。你真的就能得出结论说，如果你去看电影你就要花钱吗：$g\to m$？不一定。假设你不打算去看电影，即使那天晚上电影是免费的。（电视上有个节目有趣得多。）那么你知道，你会去看电影不为真（$\neg g$），于是你会去看电影且不花钱也不为真：$\neg(g\land\neg m)$。现在你能推出如果你去看电影就要花钱吗？当然不能：那天可能是免费之夜。

要注意的是，当你处在经由被告知而得知前提为真的情形时，其他因素通常也在起作用。注意到这一点很重要。当有人告诉你 $\neg(g\land\neg m)$ 这样的事的时，他们一般不会基于他们知道 $\neg g$ 为真而这样做。（如果他们知道的话，告诉你关于这种情形的任何事通常都是没有意义的。）如果他们告诉你这样的事，那就是基于 $g$ 和 $m$ 之间有某种联系：你不可能有 $g$ 为真而 $m$ 不为真，而这正是那个条件句为真所需要的。因此，在你被告知这个前提的情况下，推出 $g\to m$ 通常是合理的；但并不是由所说的内容推出，而是由它被说出来了这一事实推理得到。

事实上，我们经常不加思索地正确作出这种推断。例如，假设我问别人，如何让我的电脑做这样那样的事，然后他们回答说，“书架上有一本手册”。我就可以推断出，那是一本电脑手册。这并不能从实际所说的推出。但除非那本手册是电脑手册，否则那个回答就是不相干的了，而人们一般不说不相干的话。这个推断并不是演绎推理。毕竟，那个人可以说那句话，而指的不是电脑手册。但这个推断仍然是一个极好的归纳推理，是通常被称作会话蕴含（conversational implicature）的一种。

我们刚看到的对条件句的解释似乎很成功——至少就我们看到的而言。不过，它也面临一些问题。这里是一个。考虑如下推断：

如果你去罗马，你就会在意大利。

如果你在意大利，你就在欧洲。

因此，如果你去罗马，你就会在欧洲。

如果 $x$ 大于 10，那么 $x$ 大于 5。

因此，如果 $x$ 大于 10 且小于 100，那么 $x$ 大于 5。

这些推断似乎完全是有效的。在目前的解释下，它们也确实有效。我们可以把第 1 个推断写成

$1.\ \dfrac{a\to b\quad b\to c}{a\to c}$

要看出它是有效的，假设前提在某个情形 $s$ 为真。那么 $b$ 在每个与 $s$ 关联且 $a$ 为真的情形为真；同样，$c$ 在每个与 $s$ 关联且 $b$ 为真的情形为真。因此，$c$ 在每个与 $s$ 关联且 $a$ 为真的情形为真。即，$a\to c$ 在 $s$ 为真。

我们可以把第 2 个推断写成：

$2.\ \dfrac{a\to c}{(a\land b)\to c}$

要看出它是有效的，假设前提在某个情形 $s$ 为真。那么 $c$ 在每个与 $s$ 关联且 $a$ 为真的情形为真。现在，假设 $a\land b$ 在某个与 $s$ 关联的情形为真，那么 $a$ 在该情形当然也为真，因此 $c$ 也为真。因此，$(a\land b)\to c$ 在 $s$ 为真。

目前都很好。问题在于，有些推断在形式上与前面两个推断完全相同，却似乎是无效的。例如，假设有一场首相选举，只有两个候选人，琼斯和现任首相史密斯。现在考虑如下推断：

如果史密斯在选举前死了，琼斯就会赢得选举。

如果琼斯赢得选举，史密斯就会退休然后领取退休金。

因此，如果史密斯在选举前死了，她就会退休然后领取退休金。

这是一个恰好形如 $1$ 的推断。但似乎很明显存在某个情形使得两个前提都为真，而结论不为真——除非我们在考虑某个怪异的情形，其中政府会在人死之后继续发放退休金！

或者考虑下面这个关于史密斯的推断：

如果史密斯从很高悬崖的顶上跳下，她就会摔死。

因此，如果史密斯从很高悬崖的顶上跳下且背了降落伞，她就会摔死。

这是一个形如 $2$ 的推断。不过同样，似乎很明显存在前提为真而结论不为真的情形。

关于这种状况有什么要说的呢？我留给读者自己思考。尽管条件句对我们如何进行大多数推理至关重要，但条件句逻辑仍然是逻辑学中最有争议的领域之一。即便鸟儿不再吵嚷着条件句，逻辑学家肯定还在为此争论不休。

本章要点

• $a\to b$ 在某个情形 $s$ 中为真，当且仅当 $b$ 在每个与 $s$ 关联且 $a$ 为真的情形中为真。