# 第7章：条件句：“如果”中有什么？

本章我们将讨论在上一章附带引入的逻辑算子——条件句。回想一下，条件句就是形如“如果 $$a$$ 那么 $$c$$”的语句，我们现在记作 $$a\to c$$。逻辑学家称 $$a$$ 为该条件句的**前件**（*antecedent*），$$c$$ 为该条件句的**后件**（*consequent*）。我们还提到，关于条件句的一个最基本的推断是分离规则：$$a,a\to c/c$$。条件句是我们许多推理的重要基础。上一章就举过一个这方面的例子。不过，条件句却十分令人困惑。它们自逻辑学最早期开始就得到了研究。事实上，据一位古代评论家（Callimachus）说，甚至屋顶上的乌鸦也曾叫嚷着条件句。

让我们看看为什么——或者至少一个理由为什么——条件句是令人困惑的。如果你知道 $$a\to c$$，似乎你就能推出 $$\neg(a\land\neg c)$$（并非 $$a$$ 且 $$\neg c$$）。比如，假设有人通知你，如果你错过巴士，你就会迟到。你就能从中推出，你错过巴士而又不迟到为假。反过来，如果你知道 $$\neg(a\land\neg c)$$，似乎你就能从中推出 $$a\to c$$。比如，假设有人告诉你，你不会去看电影而不花钱（并非你去看电影且不花钱）。你就能推出，如果你去看电影，你就要花钱。

$$\neg(a\land\neg c)$$ 常被记作 $$a\supset c$$，称为**实质条件句**（*material conditional*）。这样，似乎 $$a\to c$$ 和 $$a\supset c$$ 意指同样的事。特别的，使用第 2 章的逻辑工具，它们有相同的真值表。作为一个简单练习，我请读者自行验证，该真值表如下：

| $$a$$ | $$c$$ | $$a\supset c$$ |
| :---: | :---: | :------------: |
| $$T$$ | $$T$$ |      $$T$$     |
| $$T$$ | $$F$$ |      $$F$$     |
| $$F$$ | $$T$$ |      $$T$$     |
| $$F$$ | $$F$$ |      $$T$$     |

但这很奇怪。它意味着若 $$c$$ 在某个情形为真（第 1 和第 3 行），则 $$a\to c$$ 也为真。这不可能是对的。比如，堪培拉是澳大利亚首都，这是真的，但条件句“如果堪培拉不是澳大利亚首都，那么堪培拉是澳大利亚首都”似乎明显为假。类似的，该真值表向我们表明，若 $$a$$ 为假（第 3 和第 4 行），则 $$a\to c$$ 为真。但这也不可能是对的。条件句“如果悉尼是澳大利亚首都，那么布里斯班是澳大利亚首都”似乎也明显为假。哪里出问题了呢？

这些例子似乎表明，$$\to$$ 不是真值函数：$$a\to c$$ 的真值不由 $$a$$ 和 $$c$$ 的真值确定。“罗马在法国”和“北京在法国”都为假，但下面这句话为真：

> 如果意大利是法国的一部分，那么罗马在法国。

而下面这句话为假：

> 如果意大利是法国的一部分，那么北京在法国。

那么，条件句是如何工作的呢？

一种回答是使用上一章给出的可能世界工具。考虑上面两个条件句。在任何意大利真的被并入法国的可能情形中，罗马的确会在法国。但存在意大利被并入法国的可能情形，而这对中国毫无影响。因此，北京仍然不在法国。这提示我们，条件句 $$a\to c$$ 在某个情形 $$s$$ 中为真，只要 $$c$$ 在所有与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形中都为真；它为假，若 $$c$$ 在某个与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形中为假。

这给了我们 $$\to$$ 一个看上去合理的解释。例如，它表明了为什么分离规则是有效的——至少在某个假设下。该假设是，我们把 $$s$$ 自身算作一个与 $$s$$ 相关的情形。这似乎是合理的，$$s$$ 中任何实际的情况当然是可能的情况。现在，假设 $$a$$ 和 $$a\to c$$ 在某个情形 $$s$$ 为真。那么，$$c$$ 在所有与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形中为真。但 $$s$$ 就是这样的一个情形（与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 在其中为真），因此 $$c$$ 在 $$s$$ 中为真，这正是我们要证的结果。

回到我们开头那个论证。我们现在就能看出为什么它不成立。该论证所依赖的推断是：

> $$\dfrac{\neg(a\land\neg c)}{a\to c}$$

而这个推断不是有效的。例如，如果 $$a$$ 在某个情形 $$s$$ 为 $$F$$，这足以使得前提在 $$s$$ 为真。但这并没有告诉我们在与 $$s$$ 关联的可能情形中 $$a$$ 和 $$c$$ 会如何表现。完全有可能在其中一个可能情形，比方说 $$s'$$ 中，$$a$$ 为真而 $$c$$ 不为真，如图：

![](/files/-M44_kd46aF_nzsIpZD5)

因此，$$a\to c$$ 在 $$s$$ 不为真。

我们早先谈到的那个例子怎么样呢（你被告知你不会去电影院而不花钱）？那个推断看上去难道不是有效的吗？假设你知道你不会去看电影而不花钱：$$\neg(g\land\neg m)$$。你真的就能得出结论说，如果你去看电影你就要花钱吗：$$g\to m$$？不一定。假设你不打算去看电影，即使那天晚上电影是免费的。（电视上有个节目有趣得多。）那么你知道，你会去看电影不为真（$$\neg g$$），于是你会去看电影**且**不花钱也不为真：$$\neg(g\land\neg m)$$。现在你能推出如果你去看电影就要花钱吗？当然不能：那天可能是免费之夜。

要注意的是，当你处在经由被告知而得知前提为真的情形时，其他因素通常也在起作用。注意到这一点很重要。当有人告诉你 $$\neg(g\land\neg m)$$ 这样的事的时，他们一般不会基于他们知道 $$\neg g$$ 为真而这样做。（如果他们知道的话，告诉你关于这种情形的任何事通常都是没有意义的。）如果他们告诉你这样的事，那就是基于 $$g$$ 和 $$m$$ 之间有某种联系：你不可能有 $$g$$ 为真而 $$m$$ 不为真，而这正是那个条件句为真所需要的。因此，在你被告知这个前提的情况下，推出 $$g\to m$$ 通常是合理的；但并不是由所说的内容推出，而是由它**被说出来了**这一事实推理得到。

事实上，我们经常不加思索地正确作出这种推断。例如，假设我问别人，如何让我的电脑做这样那样的事，然后他们回答说，“书架上有一本手册”。我就可以推断出，那是一本电脑手册。这并不能从实际所说的推出。但除非那本手册是电脑手册，否则那个回答就是不相干的了，而人们一般不说不相干的话。这个推断并不是演绎推理。毕竟，那个人可以说那句话，而指的不是电脑手册。但这个推断仍然是一个极好的归纳推理，是通常被称作**会话蕴含**（*conversational implicature*）的一种。

我们刚看到的对条件句的解释似乎很成功——至少就我们看到的而言。不过，它也面临一些问题。这里是一个。考虑如下推断：

> 如果你去罗马，你就会在意大利。
>
> 如果你在意大利，你就在欧洲。
>
> 因此，如果你去罗马，你就会在欧洲。
>
> 如果 $$x$$ 大于 10，那么 $$x$$ 大于 5。
>
> 因此，如果 $$x$$ 大于 10 且小于 100，那么 $$x$$ 大于 5。

这些推断似乎完全是有效的。在目前的解释下，它们也确实有效。我们可以把第 1 个推断写成

$$1.\ \dfrac{a\to b\quad b\to c}{a\to c}$$

要看出它是有效的，假设前提在某个情形 $$s$$ 为真。那么 $$b$$ 在每个与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形为真；同样，$$c$$ 在每个与 $$s$$ 关联且 $$b$$ 为真的情形为真。因此，$$c$$ 在每个与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形为真。即，$$a\to c$$ 在 $$s$$ 为真。

我们可以把第 2 个推断写成：

$$2.\ \dfrac{a\to c}{(a\land b)\to c}$$

要看出它是有效的，假设前提在某个情形 $$s$$ 为真。那么 $$c$$ 在每个与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形为真。现在，假设 $$a\land b$$ 在某个与 $$s$$ 关联的情形为真，那么 $$a$$ 在该情形当然也为真，因此 $$c$$ 也为真。因此，$$(a\land b)\to c$$ 在 $$s$$ 为真。

目前都很好。问题在于，有些推断在形式上与前面两个推断完全相同，却似乎是无效的。例如，假设有一场首相选举，只有两个候选人，琼斯和现任首相史密斯。现在考虑如下推断：

> 如果史密斯在选举前死了，琼斯就会赢得选举。
>
> 如果琼斯赢得选举，史密斯就会退休然后领取退休金。
>
> 因此，如果史密斯在选举前死了，她就会退休然后领取退休金。

这是一个恰好形如 $$1$$ 的推断。但似乎很明显存在某个情形使得两个前提都为真，而结论不为真——除非我们在考虑某个怪异的情形，其中政府会在人死之后继续发放退休金！

或者考虑下面这个关于史密斯的推断：

> 如果史密斯从很高悬崖的顶上跳下，她就会摔死。
>
> 因此，如果史密斯从很高悬崖的顶上跳下且背了降落伞，她就会摔死。

这是一个形如 $$2$$ 的推断。不过同样，似乎很明显存在前提为真而结论不为真的情形。

关于这种状况有什么要说的呢？我留给读者自己思考。尽管条件句对我们如何进行大多数推理至关重要，但条件句逻辑仍然是逻辑学中最有争议的领域之一。即便鸟儿不再吵嚷着条件句，逻辑学家肯定还在为此争论不休。

> 本章要点
>
> * $$a\to b$$ 在某个情形 $$s$$ 中为真，当且仅当 $$b$$ 在每个与 $$s$$ 关联且 $$a$$ 为真的情形中为真。


---

# Agent Instructions: Querying This Documentation

If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question.

Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter:

```
GET https://wxflogic.gitbook.io/logic/chapter07.md?ask=<question>
```

The question should be specific, self-contained, and written in natural language.
The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation.

Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.