# 第2章（上）：真值函数——亦或不是？

无论关于有效性的规则是否固化到我们大脑里，我们对于各种推断是否有效都有很强的直觉。比如，以下推断的有效性是没有多少争议的：“她是女人且是银行家；因此她是银行家”。以下推断是无效的：“他是木匠；因此他是木匠且打棒球”。

但我们的直觉有时会让我们陷入麻烦。你怎么看下面这个推断？横线上方是两个前提，横线下方是结论。

```
女王富有。女王不富有。
—————————————————
     猪会飞。
```

它看上去当然不是有效的。女王的财富——无论多少——似乎都和猪的飞行能力无关。

但你认为以下两个推断怎么样？

```
   女王富有。
——————————————
女王富有或猪会飞。


女王富有或猪会飞。女王不富有。
———————————————————————
        猪会飞
```

第 1 个推断似乎是有效的。考虑它的结论，逻辑学家称这样的语句为**析取式**（*disjunction*），称“或”两边的子句为**析取项**（*disjuncts*）。那么，一个析取式怎样为真呢？只要其中一个析取项为真即可。因此对于第 1 个推断，在任何前提为真的情形，结论也为真。第 2 个推断似乎也是有效的。如果两个论断中的一个或另一个为真，且其中一个不为真，那么另一个一定为真。

现在的麻烦是，把两个明显有效的推断串连在一起，我们会得到明显无效的推断，像这样：

```
   女王富有。
——————————————
女王富有或猪会飞。 女王不富有。
————————————————————————
         猪会飞
```

这不可能是对的。将两个有效的推断以这种方式连接起来不可能得到一个无效的推断。（译者注：对于有效的论证）任何情形下如果所有前提为真，那么它们的所有结论也为真，由**这些结论**推得的结论也为真，如此下去，直到我们得到最终的结论。问题出在哪儿呢？

为了给这个问题一个正统的解答，让我们更详细地考察一下。首先，我们把语句“猪会飞”记作 $$p$$，把语句“女王富有”记作 $$q$$，这让事情更紧凑些，但不止于此：如果你思考一下就会发现，在这个例子中使用什么具体语句是无关紧要的，我完全可以使用任意两个语句来构造这种形式的推断，因此我们可以忽略其内容，这正是我们将语句记作单个字母时所做的。

语句“女王富有或猪会飞”现在就变成“ $$q$$ 或 $$p$$ ”，逻辑学家通常将其记作 $$q\lor p$$。“女王不富有”怎么记呢？让我们先把这句话改写为“并非女王富有”，将否定词挪到句子前面。这样，这句话就变成“并非 $$q$$”，逻辑学家通常将其记作 $$\neg q$$，称为 $$q$$ 的**否定**（*negation*）。“女王富有且猪会飞”，也就是“ $$q$$ 且 $$p$$ ”这句话怎么记呢？逻辑学家通常将其记作 $$q\land p$$，称为 $$q$$ 和 $$p$$ 的**合取**（*conjunction*）。有了这套改写机制，我们就可以把上面那个串连起来的推断写成如下形式：

$$
\dfrac{q\qquad\quad}{\dfrac{q\lor p\qquad \neg q}{p}}
$$

关于这个推断我们有什么要说的呢？

语句可以为真，也可以为假。让我们用 $$T$$ 表示真，用 $$F$$ 表示假。自现代逻辑的奠基者之一，德国哲学家和数学家弗雷格之后，它们通常被称为**真值**（*truth values*）。给定任何语句 $$a$$，$$a$$ 的真值与其否定 $$\neg a$$ 的真值之间有何联系呢？一个自然的回答是，如果一个为真，另一个就为假，反之亦然。这样，如果“女王富有”为真，则“女王不富有”就为假，反之亦然。我们可以将这一联系记录如下：

* $$\neg a$$ 具有真值 $$T$$，当且仅当 $$a$$ 具有真值 $$F$$。
* $$\neg a$$ 具有真值 $$F$$，当且仅当 $$a$$ 具有真值 $$T$$。

逻辑学家将其称为否定的**真值条件**（*truth conditions*）。如果我们假定每个语句或者为真或者为假，但不会既真又假，我们就可以用下面的表格来描绘这些条件，逻辑学家称之为**真值表**（*truth table*）：

| $$a$$ | $$\neg a$$ |
| :---: | :--------: |
| $$T$$ |    $$F$$   |
| $$F$$ |    $$T$$   |

如果 $$a$$ 具有它下面那一列的真值，$$\neg a$$ 就具有其右边对应的的真值。析取 $$\lor$$ 的真值条件呢？正如我已提到的，一个自然的假设是，一个析取式 $$a\lor b$$ 为真，若 $$a$$ 和 $$b$$ 中的其中一个（或两个都）为真，否则该析取式就为假。我们可以将这一联系记录在析取的真值条件中：

* $$a\lor b$$ 具有真值 $$T$$，当且仅当 $$a$$ 和 $$b$$ 中至少有一个具有真值 $$T$$。
* $$a\lor b$$ 具有真值 $$F$$，当且仅当 $$a$$ 和 $$b$$ 都具有真值 $$F$$。

这些条件可以用真值表描绘如下：

| $$a$$ | $$b$$ | $$a\lor b$$ |
| :---: | :---: | :---------: |
| $$T$$ | $$T$$ |    $$T$$    |
| $$T$$ | $$F$$ |    $$T$$    |
| $$F$$ | $$T$$ |    $$T$$    |
| $$F$$ | $$F$$ |    $$F$$    |

除了第 1 行的表头，每一行记录了一种 $$a$$（第 1 列） 与 $$b$$（第 2 列） 的真值的可能组合。共有 4 种这样可能的组合，因而有 4 行。对每一种组合，右边都给出了$$a\lor b$$ 对应的真值（第 3 列）。

同样，既然谈到这里，$$a$$ 和 $$b$$ 的真值与 $$a\land b$$ 的真值之间有何联系呢？一个自然的假定是，$$a\land b$$ 为真，若 $$a$$ 和 $$b$$ 都为真，否则 $$a\land b$$ 为假。这样，比如，“约翰 35 岁且有棕色的头发”为真，当且仅当“约翰 35 岁”和“约翰有棕色的头发”都为真。我们可以将这一联系记录在合取的真值条件中：

* $$a\land b$$ 具有真值 $$T$$，当且仅当 $$a$$ 和 $$b$$ 都具有真值 $$T$$。
* $$a\land b$$ 具有真值 $$F$$，当且仅当 $$a$$ 和 $$b$$ 中至少有一个具有真值 $$F$$。

这些条件可以用真值表描绘如下：

| $$a$$ | $$b$$ | $$a\land b$$ |
| :---: | :---: | :----------: |
| $$T$$ | $$T$$ |     $$T$$    |
| $$T$$ | $$F$$ |     $$F$$    |
| $$F$$ | $$T$$ |     $$F$$    |
| $$F$$ | $$F$$ |     $$F$$    |