第2章（上）：真值函数——亦或不是？

无论关于有效性的规则是否固化到我们大脑里，我们对于各种推断是否有效都有很强的直觉。比如，以下推断的有效性是没有多少争议的：“她是女人且是银行家；因此她是银行家”。以下推断是无效的：“他是木匠；因此他是木匠且打棒球”。

但我们的直觉有时会让我们陷入麻烦。你怎么看下面这个推断？横线上方是两个前提，横线下方是结论。

女王富有。女王不富有。
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     猪会飞。

它看上去当然不是有效的。女王的财富——无论多少——似乎都和猪的飞行能力无关。

但你认为以下两个推断怎么样？

   女王富有。
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女王富有或猪会飞。


女王富有或猪会飞。女王不富有。
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        猪会飞

第 1 个推断似乎是有效的。考虑它的结论，逻辑学家称这样的语句为析取式（disjunction），称“或”两边的子句为析取项（disjuncts）。那么，一个析取式怎样为真呢？只要其中一个析取项为真即可。因此对于第 1 个推断，在任何前提为真的情形，结论也为真。第 2 个推断似乎也是有效的。如果两个论断中的一个或另一个为真，且其中一个不为真，那么另一个一定为真。

现在的麻烦是，把两个明显有效的推断串连在一起，我们会得到明显无效的推断，像这样：

   女王富有。
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女王富有或猪会飞。 女王不富有。
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         猪会飞

这不可能是对的。将两个有效的推断以这种方式连接起来不可能得到一个无效的推断。（译者注：对于有效的论证）任何情形下如果所有前提为真，那么它们的所有结论也为真，由这些结论推得的结论也为真，如此下去，直到我们得到最终的结论。问题出在哪儿呢？

为了给这个问题一个正统的解答，让我们更详细地考察一下。首先，我们把语句“猪会飞”记作 $p$，把语句“女王富有”记作 $q$，这让事情更紧凑些，但不止于此：如果你思考一下就会发现，在这个例子中使用什么具体语句是无关紧要的，我完全可以使用任意两个语句来构造这种形式的推断，因此我们可以忽略其内容，这正是我们将语句记作单个字母时所做的。

语句“女王富有或猪会飞”现在就变成“ $q$ 或 $p$ ”，逻辑学家通常将其记作 $q\lor p$。“女王不富有”怎么记呢？让我们先把这句话改写为“并非女王富有”，将否定词挪到句子前面。这样，这句话就变成“并非 $q$”，逻辑学家通常将其记作 $\neg q$，称为 $q$ 的否定（negation）。“女王富有且猪会飞”，也就是“ $q$ 且 $p$ ”这句话怎么记呢？逻辑学家通常将其记作 $q\land p$，称为 $q$ 和 $p$ 的合取（conjunction）。有了这套改写机制，我们就可以把上面那个串连起来的推断写成如下形式：

$$\dfrac{q\qquad\quad}{\dfrac{q\lor p\qquad \neg q}{p}}$$

关于这个推断我们有什么要说的呢？

语句可以为真，也可以为假。让我们用 $T$ 表示真，用 $F$ 表示假。自现代逻辑的奠基者之一，德国哲学家和数学家弗雷格之后，它们通常被称为真值（truth values）。给定任何语句 $a$，$a$ 的真值与其否定 $\neg a$ 的真值之间有何联系呢？一个自然的回答是，如果一个为真，另一个就为假，反之亦然。这样，如果“女王富有”为真，则“女王不富有”就为假，反之亦然。我们可以将这一联系记录如下：

• $\neg a$ 具有真值 $T$，当且仅当 $a$ 具有真值 $F$。
• $\neg a$ 具有真值 $F$，当且仅当 $a$ 具有真值 $T$。

逻辑学家将其称为否定的真值条件（truth conditions）。如果我们假定每个语句或者为真或者为假，但不会既真又假，我们就可以用下面的表格来描绘这些条件，逻辑学家称之为真值表（truth table）：

$a$	$\neg a$
$T$	$F$
$F$	$T$

如果 $a$ 具有它下面那一列的真值，$\neg a$ 就具有其右边对应的的真值。析取 $\lor$ 的真值条件呢？正如我已提到的，一个自然的假设是，一个析取式 $a\lor b$ 为真，若 $a$ 和 $b$ 中的其中一个（或两个都）为真，否则该析取式就为假。我们可以将这一联系记录在析取的真值条件中：

• $a\lor b$ 具有真值 $T$，当且仅当 $a$ 和 $b$ 中至少有一个具有真值 $T$。
• $a\lor b$ 具有真值 $F$，当且仅当 $a$ 和 $b$ 都具有真值 $F$。

这些条件可以用真值表描绘如下：

$a$	$b$	$a\lor b$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$

除了第 1 行的表头，每一行记录了一种 $a$（第 1 列） 与 $b$（第 2 列） 的真值的可能组合。共有 4 种这样可能的组合，因而有 4 行。对每一种组合，右边都给出了$a\lor b$ 对应的真值（第 3 列）。

同样，既然谈到这里，$a$ 和 $b$ 的真值与 $a\land b$ 的真值之间有何联系呢？一个自然的假定是，$a\land b$ 为真，若 $a$ 和 $b$ 都为真，否则 $a\land b$ 为假。这样，比如，“约翰 35 岁且有棕色的头发”为真，当且仅当“约翰 35 岁”和“约翰有棕色的头发”都为真。我们可以将这一联系记录在合取的真值条件中：

• $a\land b$ 具有真值 $T$，当且仅当 $a$ 和 $b$ 都具有真值 $T$。
• $a\land b$ 具有真值 $F$，当且仅当 $a$ 和 $b$ 中至少有一个具有真值 $F$。

这些条件可以用真值表描绘如下：

$a$	$b$	$a\land b$
$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$