逻辑学简短入门(牛津通识读本)
  • 重译说明
  • 前言
  • 第1章:有效性:从什么可以推出什么?
  • 第2章(上):真值函数——亦或不是?
  • 第2章(下)真值函数——亦或不是?
  • 第3章:名称与量词:空无一物是某物吗?
  • 第4章(上):摹状词与存在:古希腊人崇拜宙斯吗?
  • 第4章(下):摹状词与存在:古希腊人崇拜宙斯吗?
  • 第5章:自指:本章是关于什么的?
  • 第6章:必然与可能:什么会是一定如此的?
  • 第7章:条件句:“如果”中有什么?
  • 第8章:将来和过去:时间是真实的吗?
  • 第9章:同一性与变化:有什么是一成不变的吗?
  • 第10章:模糊性:如何在滑坡上停止下滑?
  • 第11章:概率:缺少参照类的奇怪情形
  • 第12章:互逆概率:你无法忽略其差别!
  • 第13章:决策论:远大期望
  • 第14章:停!发生什么了?
  • 第15章:也许为真——但你无法证明!
  • 第16章:一点历史与进阶阅读
  • 术语表
  • 习题
  • 参考文献
  • 附录:习题解答
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这有帮助吗?

第2章(下)真值函数——亦或不是?

上一页第2章(上):真值函数——亦或不是?下一页第3章:名称与量词:空无一物是某物吗?

最后更新于5年前

这有帮助吗?

那么,所有这些与我们一开始提出的问题有何关系呢?让我们回到我在上一章结束时提出的问题:什么是一个情形?一个自然的想法是,不管情形是什么,它确定了每个语句的真值。因此,比如,在某个特定情形中,女王富有为真而猪会飞为假。在另一个情形中,女王富有为假而猪会飞为真。(注意这些情形可以纯粹是假设性的!)换言之,一个情形确定了每个相关语句为真或为假。这里的相关语句不包含“且”、“或”或“非”的任何出现。给定关于某个情形的基本信息,包含这些词的语句的真值我们可以利用真值表算出。

例如,假设我们有下面的情形:

(rrr 可能是语句“大黄有营养”,“p:Tp:Tp:T”表示 ppp 被指派真值 TTT,等等。)那么,比方说 p∧(¬r∨q)p\land(\neg r\lor q)p∧(¬r∨q) 的真值是多少呢?我们计算这一真值的方法,和用乘法表与加法表计算 3×(−6+2)3\times(-6+2)3×(−6+2) 的数值完全一样。于是, ¬\neg¬ 的真值表告诉我们,¬r\neg r¬r 的真值是 FFF。又由于 qqq 的真值也是 FFF,∨\lor∨ 的真值表告诉我们,¬r∨q\neg r\lor q¬r∨q 的真值为 FFF。由于 ppp 的真值是 TTT(译者注:这里其实不需要考虑这一条件),∧\land∧ 的真值表告诉我们,p∧(¬r∨q)p\land(\neg r\lor q)p∧(¬r∨q) 的真值为 FFF。用这种逐步计算的方法,我们可以算出任何包含 ∧,∨\land,\lor∧,∨ 和 ¬\neg¬ 出现的公式的真值。

现在,回想一下,上一章我们说一个推断是有效的,只要不存在使得所有前提都为真而结论不为真(为假)的情形。也就是说,一个推断是有效的,只要不存在对相关语句的真值指派,使得所有前提的真值都为 TTT 而结论的真值为 FFF。比如,考虑我们前面见过的推断:q/q∨pq/q\lor pq/q∨p。(我把它写成一行是为了给牛津大学出版社省点钱。)这里的相关语句是 qqq 和 ppp。有 4 种真值组合,对每种组合我们都能算出前提和结论的真值。我们可以将结果表示如下:

前两列给出了 qqq 和 ppp 的真值的所有可能组合。后两列分别给出了前提和结论在每种组合下对应的真值。第 3 列与第 1 列相同,这是本例的一个巧合,之所以如此是因为,在这个特定的例子中,前提恰好是其中一个相关语句。第 4 列可以由析取的真值表读出。给定这些信息,我们就能看出这个推断是有效的,因为没有一行前提 qqq 为真而结论 q∨pq\lor pq∨p 不为真。

推断 q∨p,¬q/pq\lor p,\neg q/pq∨p,¬q/p 的有效性如何呢?用同样的方法,我们得到:

这次有 5 列,因为有两个前提。前提和结论的真值可以由析取和否定的真值表读出。同样,没有一行两个前提都为真而结论不为真。因此,该推断是有效的。

同样,这个推断是有效的;而且现在我们明白了为什么它是有效的:没有一行两个前提都为真而结论为假。事实上,没有一行两个前提都为真。结论完全不起作用!有时逻辑学把推断的这种情形描述为空洞(vacuously)有效,只是因为前提永远也无法同时为真(译者注:所以无论结论是什么推断都有效)。

这就是我们最开始提出的问题的一种解决方案。根据这种解释,我们最初关于这个推断的直觉是错误的。毕竟,人们的直觉经常是误导性的。对每个人来说,地球似乎显然是不动的,直到他们学了一门物理课,才发现地球实际上在飞速穿越太空。我们甚至可以为我们的逻辑直觉为何出错提供解释。我们实际遇到的推断多数都不是空洞的那种。我们的直觉只在这类场合下得到发展,因而不是普遍适用的,正如你在学走路时养成的习惯(比如,不朝一边倾斜)在其他场合并不总是管用(比如当你学骑车时)。

  1. 约翰撞了头,且跌倒了。

  2. 约翰跌倒了,且撞了头。

第 1 句说的是,约翰撞了头,然后跌倒了。第 2 句说的是,约翰跌倒了,然后撞了头。很明显,当第二句为假时第一句也可以为真,反之亦然。 因此,不仅合取项的真值是重要的,哪一个引起了哪一个也是重要的。

你现在就来,或者我们会迟到;

这些问题我留给读者自己思考。我们已经考察的材料至少初步解释了某些逻辑工具是如何使用的。在后续章节里我们还会继续利用这些工具,除非有些章节中的观点明确将其推翻——有时会出现这种情况。

本章给出的逻辑工具只涉及某些类型的推断,还有很多其他类型的推断。我们只是刚开了个头。

本章要点

我们一开始提到的那个推断 q,¬q/pq,\neg q/pq,¬q/p 的有效性如何呢?用之前的方法,我们得到:

在后面某一章里,我们会再回到这个问题。但让我们简要看一下我们所用逻辑工具的恰当性(adequacy),以结束本章。这里的情况并没有人们原本希望的那么简单。根据这种解释,语句 ¬a\neg a¬a 的真值完全由语句 aaa 的真值确定。类似的,语句 a∨ba\lor ba∨b 和 a∧ba\land ba∧b 的真值也完全由 aaa 和 bbb 的真值确定。逻辑学家称像这样作用的运算为真值函数(truth functions)。但有很好的理由让我们认为,汉语中出现的“或”和“且”并不是真值函数,至少不总是如此。例如,根据 ∧\land∧ 的真值表,“aaa 且 bbb”与“bbb 且 aaa”总是有相同的真值,即它们在aaa 和 bbb 都为真时也都为真,否则都为假。但考虑这两句话:

“或”也有类似的问题。根据我们前面的解释,“aaa 或 bbb 为真”若 aaa 和 bbb 中的某一个为真。但假设有个朋友对你说:

于是你来了。根据 ∨\lor∨ 的真值表,这个析取式为真。但假如你发现你的朋友是在跟你开玩笑:你完全可以半小时后再出发也来得及。在这种情况下,你肯定会说你的朋友说谎了:他所说的是假的。同样,不仅析取项的真值是重要的,析取项之间某种联系的存在也是重要的。

在一个情形中,一个唯一的真值( TTT 或 FFF) 被指派给每个相关语句。

¬a\neg a¬a 为 TTT 当且仅当 aaa 为 FFF。

a∨ba\lor ba∨b 为真当且仅当 aaa 和 bbb 中至少一个为 TTT。

a∧ba\land ba∧b 为真当且仅当 aaa 和 bbb 两个都为真。

p:Tp:Tp:T
q:Fq:Fq:F
r:Tr:Tr:T
qqq
ppp
qqq
q∨pq\lor pq∨p
TTT
TTT
TTT
TTT
TTT
FFF
TTT
TTT
FFF
TTT
FFF
TTT
FFF
FFF
FFF
FFF
qqq
ppp
q∨pq\lor pq∨p
¬q\neg q¬q
ppp
TTT
TTT
TTT
FFF
TTT
TTT
FFF
TTT
FFF
FFF
FFF
TTT
TTT
TTT
TTT
FFF
FFF
FFF
TTT
FFF
qqq
ppp
qqq
¬q\neg q¬q
ppp
TTT
TTT
TTT
FFF
TTT
TTT
FFF
TTT
FFF
FFF
FFF
TTT
FFF
TTT
TTT
FFF
FFF
FFF
TTT
FFF