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# 第2章（下）真值函数——亦或不是？

那么，所有这些与我们一开始提出的问题有何关系呢？让我们回到我在上一章结束时提出的问题：什么是一个情形？一个自然的想法是，不管情形是什么，它确定了每个语句的真值。因此，比如，在某个特定情形中，女王富有为真而猪会飞为假。在另一个情形中，女王富有为假而猪会飞为真。（注意这些情形可以纯粹是假设性的！）换言之，一个情形确定了每个相关语句为真或为假。这里的相关语句不包含“且”、“或”或“非”的任何出现。给定关于某个情形的基本信息，包含这些词的语句的真值我们可以利用真值表算出。

例如，假设我们有下面的情形：

| $$p:T$$ |
| :-----: |
| $$q:F$$ |
| $$r:T$$ |

（$$r$$ 可能是语句“大黄有营养”，“$$p:T$$”表示 $$p$$ 被指派真值 $$T$$，等等。）那么，比方说 $$p\land(\neg r\lor q)$$ 的真值是多少呢？我们计算这一真值的方法，和用乘法表与加法表计算 $$3\times(-6+2)$$ 的数值完全一样。于是， $$\neg$$ 的真值表告诉我们，$$\neg r$$ 的真值是 $$F$$。又由于 $$q$$ 的真值也是 $$F$$，$$\lor$$ 的真值表告诉我们，$$\neg r\lor q$$ 的真值为 $$F$$。由于 $$p$$ 的真值是 $$T$$（译者注：这里其实不需要考虑这一条件），$$\land$$ 的真值表告诉我们，$$p\land(\neg r\lor q)$$ 的真值为 $$F$$。用这种逐步计算的方法，我们可以算出任何包含 $$\land,\lor$$ 和 $$\neg$$ 出现的公式的真值。

现在，回想一下，上一章我们说一个推断是有效的，只要不存在使得所有前提都为真而结论不为真（为假）的情形。也就是说，一个推断是有效的，只要不存在对相关语句的真值指派，使得所有前提的真值都为 $$T$$ 而结论的真值为 $$F$$。比如，考虑我们前面见过的推断：$$q/q\lor p$$。（我把它写成一行是为了给牛津大学出版社省点钱。）这里的相关语句是 $$q$$ 和 $$p$$。有 4 种真值组合，对每种组合我们都能算出前提和结论的真值。我们可以将结果表示如下：

| $$q$$ | $$p$$ | $$q$$ | $$q\lor p$$ |
| :---: | :---: | :---: | :---------: |
| $$T$$ | $$T$$ | $$T$$ |    $$T$$    |
| $$T$$ | $$F$$ | $$T$$ |    $$T$$    |
| $$F$$ | $$T$$ | $$F$$ |    $$T$$    |
| $$F$$ | $$F$$ | $$F$$ |    $$F$$    |

前两列给出了 $$q$$ 和 $$p$$ 的真值的所有可能组合。后两列分别给出了前提和结论在每种组合下对应的真值。第 3 列与第 1 列相同，这是本例的一个巧合，之所以如此是因为，在这个特定的例子中，前提恰好是其中一个相关语句。第 4 列可以由析取的真值表读出。给定这些信息，我们就能看出这个推断是有效的，因为没有一行前提 $$q$$ 为真而结论 $$q\lor p$$ 不为真。

推断 $$q\lor p,\neg q/p$$ 的有效性如何呢？用同样的方法，我们得到：

| $$q$$ | $$p$$ | $$q\lor p$$ | $$\neg q$$ | $$p$$ |
| :---: | :---: | :---------: | :--------: | :---: |
| $$T$$ | $$T$$ |    $$T$$    |    $$F$$   | $$T$$ |
| $$T$$ | $$F$$ |    $$T$$    |    $$F$$   | $$F$$ |
| $$F$$ | $$T$$ |    $$T$$    |    $$T$$   | $$T$$ |
| $$F$$ | $$F$$ |    $$F$$    |    $$T$$   | $$F$$ |

这次有 5 列，因为有两个前提。前提和结论的真值可以由析取和否定的真值表读出。同样，没有一行两个前提都为真而结论不为真。因此，该推断是有效的。

我们一开始提到的那个推断 $$q,\neg q/p$$ 的有效性如何呢？用之前的方法，我们得到：

| $$q$$ | $$p$$ | $$q$$ | $$\neg q$$ | $$p$$ |
| :---: | :---: | :---: | :--------: | :---: |
| $$T$$ | $$T$$ | $$T$$ |    $$F$$   | $$T$$ |
| $$T$$ | $$F$$ | $$T$$ |    $$F$$   | $$F$$ |
| $$F$$ | $$T$$ | $$F$$ |    $$T$$   | $$T$$ |
| $$F$$ | $$F$$ | $$F$$ |    $$T$$   | $$F$$ |

同样，这个推断是有效的；而且现在我们明白了为什么它是有效的：没有一行两个前提都为真而结论为假。事实上，没有一行两个前提都为真。结论完全不起作用！有时逻辑学把推断的这种情形描述为**空洞**（*vacuously*）有效，只是因为前提永远也无法同时为真（译者注：所以无论结论是什么推断都有效）。

这就是我们最开始提出的问题的一种解决方案。根据这种解释，我们最初关于这个推断的直觉是错误的。毕竟，人们的直觉经常是误导性的。对每个人来说，地球似乎显然是不动的，直到他们学了一门物理课，才发现地球实际上在飞速穿越太空。我们甚至可以为我们的逻辑直觉为何出错提供解释。我们实际遇到的推断多数都不是空洞的那种。我们的直觉只在这类场合下得到发展，因而不是普遍适用的，正如你在学走路时养成的习惯（比如，不朝一边倾斜）在其他场合并不总是管用（比如当你学骑车时）。

在后面某一章里，我们会再回到这个问题。但让我们简要看一下我们所用逻辑工具的恰当性（adequacy），以结束本章。这里的情况并没有人们原本希望的那么简单。根据这种解释，语句 $$\neg a$$ 的真值完全由语句 $$a$$ 的真值确定。类似的，语句 $$a\lor b$$ 和 $$a\land b$$ 的真值也完全由 $$a$$ 和 $$b$$ 的真值确定。逻辑学家称像这样作用的运算为**真值函数**（*truth functions*）。但有很好的理由让我们认为，汉语中出现的“或”和“且”并不是真值函数，至少不总是如此。例如，根据 $$\land$$ 的真值表，“$$a$$ 且 $$b$$”与“$$b$$ 且 $$a$$”总是有相同的真值，即它们在$$a$$ 和 $$b$$ 都为真时也都为真，否则都为假。但考虑这两句话：

> 1. 约翰撞了头，且跌倒了。
> 2. 约翰跌倒了，且撞了头。

第 1 句说的是，约翰撞了头，然后跌倒了。第 2 句说的是，约翰跌倒了，然后撞了头。很明显，当第二句为假时第一句也可以为真，反之亦然。 因此，不仅合取项的真值是重要的，哪一个引起了哪一个也是重要的。

“或”也有类似的问题。根据我们前面的解释，“$$a$$ 或 $$b$$ 为真”若 $$a$$ 和 $$b$$ 中的某一个为真。但假设有个朋友对你说：

> 你现在就来，或者我们会迟到；

于是你来了。根据 $$\lor$$ 的真值表，这个析取式为真。但假如你发现你的朋友是在跟你开玩笑：你完全可以半小时后再出发也来得及。在这种情况下，你肯定会说你的朋友说谎了：他所说的是假的。同样，不仅析取项的真值是重要的，析取项之间某种联系的存在也是重要的。

这些问题我留给读者自己思考。我们已经考察的材料至少初步解释了某些逻辑工具是如何使用的。在后续章节里我们还会继续利用这些工具，除非有些章节中的观点明确将其推翻——有时会出现这种情况。

本章给出的逻辑工具只涉及某些类型的推断，还有很多其他类型的推断。我们只是刚开了个头。

> 本章要点
>
> * 在一个情形中，一个唯一的真值（ $$T$$ 或 $$F$$） 被指派给每个相关语句。
> * $$\neg a$$ 为 $$T$$ 当且仅当 $$a$$ 为 $$F$$。
> * $$a\lor b$$ 为真当且仅当 $$a$$ 和 $$b$$ 中至少一个为 $$T$$。
> * $$a\land b$$ 为真当且仅当 $$a$$ 和 $$b$$ 两个都为真。