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# 第13章：决策论：远大期望

让我们看一下关于归纳推理的一个最后问题。这个主题有时也称作**实践推理**（*practial reasoning*），因为它是对人们应该如何行动进行推理。下面是一条著名的实践推理。

你可以选择相信（一个基督教的）上帝存在，也可以选择不相信。让我们假设你选择相信。上帝要么存在要么不存在。如果上帝存在，一切好说。如果不存在，那么你的信念会带来小小的不便：它意味着你要浪费一点时间在教堂里，也许还要做少量其他你本来不想做的事；但这些都不是灾难性的。另一方面，现在假设你选择不相信上帝存在。同样，上帝要么存在要么不存在。如果上帝不存在，一切好说。但如果上帝**真的**存在，老兄你就有麻烦了！你死后会遭受很多痛苦；如果得不到一点宽恕的话，也许会永世不得翻身。因此，任何明智之人都应该选择相信上帝存在。这是唯一谨慎的选择。

这个论证现在通常称作**帕斯卡赌注**（*Pascal's Wager*），以首次提出它的 17 世纪哲学家布莱斯·帕斯卡命名。关于这个赌注有什么要说的呢？

让我们稍微思考一下这类推理是如何进行的。我们先从一个不那么有争议的例子开始。当我们实施行动时，我们往往不确定最后的结果，它们可能不完全受我们的控制。但我们通常能估计各种结果的可能性有多大；同样重要的是，我们能估计各种结果对我们的价值有多大。按照惯例，我们可以通过对每个结果在下面的范围指派一个数字来度量其价值，这个范围在两个方向上都是无限的：

$$
\ldots,-4,-3,-1,0,+1,+2,+3,+4,\ldots
$$

正数是好的，越往右越好。负数是差的，越往左越差。$$0$$ 是无差别点：做不做都行。

现在，假设有一个我们可能会实施的行动，比方说去骑自行车。然而，天也许会下雨。不下雨的时候骑自行车会很有乐趣，因此我们会赋予它一个值，比方说 $$+10$$。但下雨时骑自行车就很悲催，因此我们会赋予它一个值，比方说 $$-5$$。对我们唯一能控制的事情——去骑自行车，我们应该赋什么值呢？我们可以只是把两个数字 $$-5$$ 和 $$10$$ 加在一起，但那样就漏掉了这个情景中的一个重要部分。也许下雨的可能性非常低，因此尽管可能下雨是不好的，我们也不希望给它太多权重。假设下雨的概率是，比方说 $$0.1$$；相应的，不下雨的概率就是 $$0.9$$。那么我们可以用相应的概率对值进行加权，得到总的值为：

$$
0.10\times(-5)+0.9\times 10
$$

它等于 $$8.5$$，我们把它称作上述行动——去骑自行车的**期望值**（*expectation*）。（这里的“期望”是一个专业术语，它和我们日常使用这个词的意义实际上没有什么关系。）

一般地，令 $$a$$ 表示：我们实施某个行动。简单起见，假设只有两个可能的结果。令 $$o\_1$$ 表示其中一个结果出现，令 $$o\_2$$ 表示另一个结果出现。最后，令 $$V(o)$$ 表示 $$o$$ 为真时我们赋予它的价值。那么 $$a$$ 的期望值 $$E(a)$$ 就是如下定义的数：

$$
pr(o\_1)\times V(o\_1)+pr(o\_2)\times V(o\_2)
$$

（严格说来，上述概率应该分别为条件概率 $$pr(o\_1|a)$$ 和 $$pr(o\_2|a)$$。但在这个例子中，出去骑自行车对下雨的概率没有影响。我们要考察的所有其他例子也都是如此。因此我们这里可以一直使用简单的先验概率。）

目前为止都没问题。但这如何帮助我们决定是否要去骑自行车呢？我们知道去骑单车的总体价值。正如我们已经看到的，其期望值为 $$8.5$$。不去骑自行车的期望值是多少呢？同样，要么下雨要么不下雨——概率和前面一样。现在的两个结果是：(i) 下雨我待在家里；(ii) 不下雨我待在家里。两种情况我都得不到骑自行车的乐趣。如果不下雨的话，情况可能或略遭一点。在那种情况下，我可能会对没有去骑自行车而感到懊恼。但两种情况都不会比淋成落汤鸡更糟。因此，如果下雨，价值可能为 $$0$$，不下雨，价值可能为 $$-1$$。现在就可以计算待在家里的期望值了：

$$
0.10\times 0+0.9\times(-1)
$$

结果为 $$-0.9$$，这给了我们需要的信息；因为我应该选择具有最高总体价值（即期望值）的行动。在这个例子里，去骑自行车的期望值为 $$8.5$$，而待在家里的期望值为 $$-0.9$$。因此，我应该去骑自行车。

这样，给定 $$a$$ 和 $$\neg a$$ 之间的选择，我应该选择那个期望值更大的。（如果二者有相同的期望值，我随机选一个就行，比方说，通过掷硬币。）在前面的例子中，只有两种可能性。一般情况下，可能有更多可能性（比如，去骑自行车，去看电影和待在家里）。不过原理是一样的：计算每个可能性的期望值，然后选择期望值最大的那个。这种推理是来自逻辑学的一个分支——**决策论**（*decision theory*）的简单例子。

现在让我们回到帕斯卡赌注。在这个例子里，有两个可能的行动：相信或不相信；有两个相关可能性：上帝存在或上帝不存在。我们可以用下表来表示相关信息：

|                  |           上帝存在          |          上帝不存在          |
| ---------------- | :---------------------: | :---------------------: |
| 我相信（$$b$$）       |  $$0.1\backslash+10^2$$ |  $$0.9\backslash -10$$  |
| 我不相信（$$\neg b$$） | $$0.1\backslash -10^6$$ | $$0.9\backslash +10^2$$ |

反斜杠左边的数字是相关概率，比如，$$0.1$$ 是上帝存在的概率，$$0.9$$ 是上帝不存在的概率。（我是否相信上帝对上帝是否存在没有影响，因此两行的概率一样。）反斜杠右边的数字是相关价值。我不太关心上帝是否存在；重要的是我没有弄错；因此我没有弄错的这两种情况价值都是 $$+10^2$$。（也许人们在这里的偏好并不完全一样，但我们会看到，这无关紧要。）上帝不存在时相信它存在，会有一点不便，因此价值为 $$-10$$。不过，上帝存在却不相信它存在，那就真的糟糕了，因此价值为 $$-10^6$$。

给定这些值，我们可以算出相关的期望值：

$$
\begin{aligned}
E(b) & =0.1\times 10^2 +0.9\times(-10)\simeq 0\\
E(\neg b) & =0.1\times(-10^6)+0.9\times 10^2\simeq -10^5
\end{aligned}
$$

（$$\simeq$$ 意思是“约等于”。）我应该选择期望值更大的行动，即相信上帝存在。

你可能会认为，我选取的那些精确数值有点任意；它们的确如此。但事实上，那些精确数值具体是多少并没有多大关系。重要的是 $$-10^6$$ 这个值。这个数字表示事情真的很糟糕。（有时，决策论专家会把它写作 $$-\infty$$。）它是如此糟糕，以至于淹没了所有其他的数字，即使上帝存在的概率很低。这就是帕斯卡赌注有冲击力的地方。

这个赌注或许看上去相当有说服力，但事实上，它犯了一个十分简单的决策论错误。它忽略了一些相关的可能性。不是只有一个可能的神，而是有很多：基督教的神（上帝），伊斯兰教的真主阿拉，印度教的婆罗门，还有更多各种小宗教所崇拜的神。如果上帝存在而你不相信它，你会有麻烦；但如果阿拉存在而你不相信它，也会有同样的麻烦，如此等等。此外，如果上帝存在，你却信仰阿拉，或者反过来，阿拉存在而你信仰上帝，那么情况会更糟。因为无论是在基督教还是在伊斯兰教中，信仰错误的神比做简单的无信仰者要还要糟。我们画出具有更现实信息的表格如下：

|             |          没有神存在          |           上帝存在           |           阿拉存在           | $$\cdots$$ |
| ----------- | :---------------------: | :----------------------: | :----------------------: | :--------: |
| 无信仰（$$n$$）  | $$0.9\backslash +10^2$$ |  $$0.01\backslash-10^6$$ | $$0.01\backslash -10^6$$ | $$\cdots$$ |
| 信仰上帝（$$g$$） |  $$0.9\backslash -10$$  | $$0.01\backslash +10^2$$ | $$0.01\backslash -10^9$$ | $$\cdots$$ |
| 信仰阿拉（$$a$$） |  $$0.9\backslash -10$$  |  $$0.01\backslash-10^9$$ |  $$0.01\backslash+10^2$$ | $$\cdots$$ |
| $$\vdots$$  |        $$\vdots$$       |        $$\vdots$$        |        $$\vdots$$        |            |

如果我们根据这些即使有限的信息来计算期望值，我们会得到：

$$
\begin{aligned}
E(n) & =0.9\times 10^2 + 0.01\times(-10^6) + 0.01\times(-10^6)\simeq 2\times 10^4\\
E(g) & =0.9\times(-10)+0.01\times 10^2 +0.01\times(-10^9)\simeq -10^7\\
E(a) & = 0.9\times(-10) + 0.01\times(-10^9) + 0.01\times 10^2\simeq -10^7
\end{aligned}
$$

情况看上去都很惨淡。但很清楚的是，信仰有神论的结果会更加糟糕。你不应信仰它们中的任何一个。

和其他章一样，让我以如下方式结束本章。我会给出一些理由，说明人们为什么会担心这里给出的一般框架——具体到这里就是，根据最大期望值进行决策的策略。

假设你在帕斯卡赌注中下错了注，最后进了地狱。几天后，魔鬼带着一笔交易出现。上帝已发号施令，说你可以得到某种宽恕。因此魔鬼谋划了一个方案。他会给你一个逃出地狱的机会。你可以掷硬币，如果正面朝上，你就可以出地狱、升天堂。如果反面朝上，你就要永远待在地狱。然而，硬币并不是公平的，魔鬼可以控制胜算。如果你今天掷硬币，正面朝上的机会是 $$1/2$$（即，$$1-1/2$$）。如果你等到明天掷硬币，机会就上升到 $$3/4$$（即，$$1-1/2^2$$）。你把信息总结如下：

|              |           逃离地狱          |           待在地狱          |
| ------------ | :---------------------: | :---------------------: |
| 今天掷硬币（$$d$$） |  $$0.5\backslash+10^6$$ |  $$0.5\backslash-10^6$$ |
| 明天掷硬币（$$m$$） | $$0.75\backslash+10^6$$ | $$0.25\backslash-10^6$$ |

逃离地狱有一个很大的正值，待在地狱有一个很大的负值。并且，这些值在今天和明天是一样的。如果你等到明天的话，你可能得在地狱里**多**待一天，这是真的，但和以后无穷无尽的日子相比，一天可以忽略不计。于是你开始计算：

$$
\begin{aligned}
E(d) & = 0.5\times 10^6 + 0.5\times(-10^6)=0 \\
E(m) & = 0.75\times 10^6 + 0.25\times(-10^6)=0.5\times 10^6
\end{aligned}
$$

因此，你决定等到明天。

但明天魔鬼来告诉你，如果你再多等一天，胜算更高：它会升到 $$7/8$$（即，$$1-1/2^3$$）。我请读者自行计算：你应该决定再等一天。麻烦在于，如果你愿意等到下一天的话，魔鬼**每天**都来提供一个更高的胜算给你。胜算越来越高，日复一日：

$$
1-1/2,1-1/2^2,1-1/2^3,1-1/2^4,\ldots,1-1/2^n,\ldots
$$

每天你都进行计算。在第 $$n$$ 天掷硬币的期望值是：

$$
(1-1/2^n)\times 10^6+1/2^n\times(-10^6)
$$

一点算术知识告诉我们，它等于 $$10^6\times(1-2/2^n)=10^6\times(1-1/2^{n-1}$$。而等到下一天，第 $$n+1$$ 天的期望值也是一样的，只是把 $$n$$ 换成 $$n+1$$，即 $$10^6\times(1-1/2^n)$$，它要更大。（$$1/2^n$$ 小于 $$1/2^{n-1}$$。）期望值每天都在升高。

因此，每天你都理性地等到下一天。结果你永远也没有掷出硬币，因而你永远待在地狱！在**任何**一天掷出硬币都要好得多。那么，看上去你要做的唯一理性之事就是不再理性。

> 本章要点
>
> * $$E(a)=pr(o\_1)\times V(o\_1)\ldots pr(o\_n)\times V(o\_n)$$，其中 $$o\_1,\ldots,o\_n$$ 表示 $$a$$ 为真时所有可能的结果。
> * 理性的行动是为真时具有最大期望值的行动。