前言

本书的总体目标是对数理逻辑进行描述：它的历史背景、本质和哲学蕴含。它打算写给所有人看——学生、数学家、语言学家、计算机专家、哲学家——他们想获得该主题的一个相对简明和可读的介绍。本书不预设任何逻辑知识，只需要高中数学。整本书强调的是理解而不是技术。在我看来，不仅有过多的强调基本技术的逻辑书，而且学习它们也是相对低水平的活动，这些内容很容易改编成教学机器和程序化课本。因此，这里我们关注的重点是那些目前不适合学习的机械技术处理的主题。这些主题包括：为什么亚里士多德的逻辑会产生，为什么过了 2000 多年后传统逻辑要让位于数理逻辑，形式公理方法的本质及使用它的理由，元理论的主要结果，以及这些结果在哲学上的重要性。

这些主题通常不会出现在一本导论书中。大多数导论教材的内容完全由那些其细节可以被初学者彻底理解的材料组成。然而，呈现这些材料并不是入门教材的唯一、甚至也不是最重要的功能。这样一本书最重要的功能是通过传递一些该主题的激动人心和美妙之处来激发长久的兴趣。有了这样的激发，学习逻辑的技术和往往复杂的细节就变成一种愉悦，而不再繁冗不堪（这对很多初学者而言太常见了）。因此，我打算同时诉诸智力和想象，由此将读者放入一个比较好的位置来学习和想要学习更多逻辑。

不过，本概貌是许多主题的概要或综述，因而它被设计给具有各种不同目的的读者使用，也给老师在各种不同的课堂场合使用。为了说明这些可能性，让我们看一下本书包含哪些内容。

第 1 章对古代逻辑作简要的历史解释。重点放在那些导致古代逻辑发展的历史条件上，包括解释古代逻辑与古代数学和古代哲学的关系。除了以历史的方式，以任何其他方式介绍古代逻辑都是误导人的，之所以如此正是因为，古代逻辑已经没有多少当代的理论价值。此外，为了正确判断动机、预设和恰当性问题，有必要在数学和哲学语境下学习古代逻辑。

第 2 章详细讨论为什么在 19 世纪和 20 世纪早期会出现一场逻辑变革的历史缘由。重点放在非欧几何、分析几何、集合论和悖论在变革过程中起到的作用。对数理逻辑发展背后的动机进行讨论，是为了将读者置于更好的位置，以判断数理逻辑的重要性，防止读者断定数理逻辑是一项任意的发明。

第 3 章试图仔细描述形式公理方法，强调它与欧几里得方法的异同。然后简要介绍命题演算、谓词演算和集合论的公理化构建。我会尽力使用尽可能少和标准的符号。重点放在逻辑概念的理解上，而不是发展读者在逻辑技术上的技巧。

第 4 章对逻辑的元理论进行综述。描述主要的元定理，通常会给出这些定理的（有时是比较长的）证明概要。这些证明概要想起到两个作用：一方面，它们让大多数读者——他们不会继续做逻辑——能洞察证明的本质思想；另一方面，它们有助于——对少数想要继续从事逻辑的人——理解完整的原始证明。这些证明概要的例子包括：命题演算的 Post 完全性定理，谓词演算的哥德尔完全性定理和算术的哥德尔不完备性定理。理解这些定理所需的概念会被定义，自始至终会强调证明的动机。我会尽力使得这些综述是尽可能精确的，尤其是哥德尔的两个著名元定理，它们在通俗或哲学解释中的呈现方式往往是粗疏不确的。

第 5 章讨论数理逻辑的哲学蕴含。这里选取的是那些由于限制性定理（Löwenheim-Skolem 定理，哥德尔定理，丘奇定理）而产生的哲学问题。这种选择是为了说明数理逻辑的双重影响：对具有数学头脑的读者，它强调元定理有时是哲学的动机和评价；对具有哲学头脑的读者，它强调技术结果对哲学的重要性。而且，相对而言很少有书对这些限制性定理进行广泛的哲学讨论。然而，我不知道还有哪些其他问题更可能产生那种能同时激发智力和想象的惊奇。

整本书中会穿插一些习题，目的有两个：第一，让读者对所给的材料进行仔细思考；第二，慢慢灌输一种逻辑在数学和哲学两方面的魅力给读者。所有习题都附有答案。

最后，带注解的参考文献给出了许多交叉参考。目的是使读者更容易在任何他喜欢的方向扩展其数理逻辑知识。重点特别放在了那些对限制性定理进行通俗和哲学讨论的文献上。

因此，本书所有部分，无论在哲学系还是数学系的入门或中级逻辑学课程中，都可以阅读。在此基础上，可以补充程序化课本或强调技术的正统教材，这取决于教师。反过来，有些教师可能希望用它作为逻辑学或数学哲学（基础）课程的补充教材。作为补充教材，它甚至可以用于高级逻辑学课程，特别是第 4 章的证明概要和第 5 章的哲学评论。由于各章相对独立，且索引有助于交叉参考，本书用作补充教材的目的很容易实现。

在我看来，大多数逻辑入门书的缺陷不在于它们介绍了什么，而在于它们没有介绍什么。它们会把传统逻辑和现代逻辑的历史考虑两者都省略（因而让读者难以判断任何一个的重要性）；它们不对超越基本逻辑之外的内容作任何提示（因而使读者对于极其重要的元理论结果一无所知）；它们几乎不谈论由数理逻辑产生的新的哲学问题和看法（因而给读者的感觉是数理逻辑不比长除法和哲学更相关）；最后，它们对逻辑的开放性和对其结果的解释存在争议性也几乎不提。本书在这些大多数初等教材不会尝试的地方是否做得成功，还请读者自行判断。

我要感谢 Myron G. Anderson、W. Miller Brown、Peter Duran、William J. Frascella、D. Randolph Johnson、 Paul Serafino、Brian Taylor 和无数上过我逻辑学、高级逻辑学和数学哲学课的学生，感谢他们的有益评论和批评。当然，本书的最终内容完全由我本人负责。最后，感谢康涅狄格州哈特福德大学三一学院董事会对本书一个早期版本的慷慨支持。

1970 年 1 月

H.D.

哈特福德市，康涅狄格州